Développement : Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

Détails/Enoncé :

Un petit dénombrement grâce, notamment, à la formule des classes.

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Recasages pour l'année 2026 :

Autres années :

Versions :

Version de Zakhysni

Auteur :
Zakhysni
Remarque :
Attention, la référence n'y est pas mais c'est dans le NH2H2 tome 2 !
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- Dev4.pdf

Version de Arnde8

Auteur :
Arnde8
Remarque :
J'ai ajouté un équivalent lorsque q tend vers l'infini. Il y a alors 1 chance sur n! de tomber sur une matrice diagonalisable. Ce qui change du cas réel ou complexe où l'ensemble des matrices diagonalisables est de mesure pleine.
Fichier :
- matrices diagonalisables.pdf

Version de abarrier

Auteur :
abarrier
Référence :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- abarrier_dev_cardinal_matrices_diagonalisables.pdf

Version de Maé Miachon Lemeulle

Auteur :
Maé Miachon Lemeulle
Fichier :
- Dénombrement des endomorphismes diagonalisables sur un corps fini .pdf

Version de Pierre Loisel

Auteur :
Pierre Loisel
Remarque :
Développement très rigolo qui mélange pleins de notions et qui du coup se recase bien (y'a 2-3 recasages abusifs, à vous de juger). Je le prends dans le Rombaldi mais y'a pleins de choses similaires dans le H2G2 (sûrement le tome 2).

Attention aux coquilles !
Fichier :
- Dénombrement des endomorphismes diagonalisables sur Fq.pdf

Version de Etoile

Auteur :
Etoile
Remarque :
Fait dans le Rombaldi Algèbre et géométrie 2ème édition.
On dénombre ici les matrices inversibles (les automorphismes donc) diagonalisables de Mn(Fq).
Recasages : 101, 106, 123, 150, 155, 190.
Référence :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi

Version de Louis D

Auteur :
Louis D
Remarque :
C'est l'un des rares développements que je n'apprécie pas trop... Mais bon, j'ai dû faire des choix pour avoir des développements là où il faut.
Je préfère de loin ma version matricielle à la version endomorphismes de la référence, mais peut-être que la version endomorphismes est plus simple au final.

J'ai vraiment du mal avec lui, je le trouve compliqué, mais beaucoup disent qu'il est plutôt facile et rentable.

Attention aux coquilles.
Référence :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- Dev _ Dénombrement des matrices diagonalisables dans Fq.pdf

Version de Brunel

Auteur :
Brunel
Remarque :
Un développement sympa qui n'utilise que des techniques classiques.

Je prends ce développement pour les leçons 101, 152 et 190.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 264.
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- 2_ Nombre d_endomorphismes diagonalisables sur un corps fini.pdf

Version de kureru

Auteur :
kureru
Remarque :
Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.

Dans Rombaldi c'est simplement les automorphismes (donc pas de valeur propre 0). Dans mon développement j'ai ajouté le cas lambda = 0 pour avoir toutes les matrices diag, automorphismes ou pas.
Référence :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- Matrices diag de Fq.pdf

Version de EmiCho

Auteur :
EmiCho
Remarque :
Document LateX non vérifié par un professionnel : attention aux coquilles !
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni
Fichier :
- Nombre_de_matrices_diagonalisables_sur_un_corps_fini.pdf

Version de Astier

Auteur :
Astier
Remarque :
NH2G2 Tome second Caldero page 66 + Rombaldi page 148.
Couplé avec les leçons 101, 106, 123, 152, 190
Références :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- Dénombrement_matrices_dz_corps_fini.pdf

Version de Axel Bonneau

Auteur :
Axel Bonneau
Remarque :
Recasage: 101, 106, 123, 152, 190

Attention: le 1er lemme est inutile. En effet, le 2e lemme découle de la définition de la diagonalisabilité, quitte à ce que certains sous-espaces propres soient triviaux.

Je fais la version endomorphismes diagonalisables i.e. pas automorphismes. Il suffit juste de rajouter la valeur propre 0. On peut consulter Carnet de voyage en Algébrie pour mieux comprendre certains passages de la preuve. Il se fait en 14min30.
Fichier :
- Dev 4 - Dénombrement des endomorphismes diagonalisables sur Fq.pdf

Version de Baptiste Breton

Auteur :
Baptiste Breton
Remarque :
- Calcul du cardinal de l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\mathbb{F}_q)$ ;
- Calcul de la probabilité asymptotique d'obtenir une matrice diagonalisable lors d'un tirage uniforme sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{F}_q)$ lorsque $q$ tend vers $+\infty$.

Leçons concernées : 101, 123, 152, 190
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Cardinal de Dn(Fq)

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 76 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 744 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni (utilisée dans 42 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 123 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 163 versions au total)