Développement : Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

Détails/Enoncé :

Un petit dénombrement grâce, notamment, à la formule des classes.

Recasages pour l'année 2025 :

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    J'ai ajouté un équivalent lorsque q tend vers l'infini. Il y a alors 1 chance sur n! de tomber sur une matrice diagonalisable. Ce qui change du cas réel ou complexe où l'ensemble des matrices diagonalisables est de mesure pleine.
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    C'est l'un des rares développements que je n'apprécie pas trop... Mais bon, j'ai dû faire des choix pour avoir des développements là où il faut.
    Je préfère de loin ma version matricielle à la version endomorphismes de la référence, mais peut-être que la version endomorphismes est plus simple au final.

    J'ai vraiment du mal avec lui, je le trouve compliqué, mais beaucoup disent qu'il est plutôt facile et rentable.

    Le recasage en 103 est abusif (enfin, à voir, mais en l'état...). On peut le recaser en 104 mais j'ai oublié de le mettre dans mon document (je le ferai plus tard).

    Attention aux coquilles.
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    Recasage: 101, 106, 123, 152, 190

    Attention: le 1er lemme est inutile. En effet, le 2e lemme découle de la définition de la diagonalisabilité, quitte à ce que certains sous-espaces propres soient triviaux.

    Je fais la version endomorphismes diagonalisables i.e. pas automorphismes. Il suffit juste de rajouter la valeur propre 0. On peut consulter Carnet de voyage en Algébrie pour mieux comprendre certains passages de la preuve. Il se fait en 14min30.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 75 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 627 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni (utilisée dans 41 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 122 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 143 versions au total)