Leçon 190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

(2018) 190

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.) Il est nécessaire de dégager clairement différentes méthodes de dénombrement et de les illustrer d’exemples significatifs. De nombreux domaines de mathématiques sont concernés par des problèmes de dénombrement, cet aspect varié du thème de la leçon doit être mis en avant. L’utilisation de séries génératrices est un outil puissant pour le calcul de certains cardinaux. De plus, il est naturel de calculer des cardinaux classiques et certaines probabilités. Il est important de connaître l’interprétation ensembliste de la somme des coefficients binomiaux et ne pas se contenter d’une justification par le binôme de Newton. L’introduction des corps finis (même en se limitant aux cardinaux premiers) permet de créer un lien avec l’algèbre linéaire. Les actions de groupes peuvent également conduire à des résultats remarquables. S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi présenter des applications de la formule d’inversion de Möebius ou de la formule de Burnside. Des candidats ayant un bagage probabiliste pourront explorer le champ des permutations aléatoires, en présentant des algorithmes pour générer la loi uniforme sur le groupe symétrique $S_n$ et analyser certaines propriétés de cette loi uniforme (points fixes, cycles, limite $n \to +\infty$ ...).

(2016 : 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.) Il est nécessaire de dégager clairement différentes méthodes de dénombrement et les illustrer d’exemples significatifs. De nombreux domaines de mathématiques sont concernés par des problèmes de dénombrement, cet aspect varié du thème de la leçon doit être mis en avant. L’utilisation de séries génératrices est un outil puissant pour le calcul de certains cardinaux. De plus il est naturel de calculer des cardinaux classiques et certaines probabilités. Il est important de connaître l’interprétation ensembliste de la somme des coefficients binomiaux, et ne pas se contenter d’une justification par le binôme de Newton. L’introduction des corps finis (même en se limitant aux cardinaux premiers) permet de créer un lien avec l’algèbre linéaire. Les actions de groupes peuvent également conduire à des résultats remarquables. S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi présenter des applications de la formule d’inversion de Möebius ou de la formule de Burnside.
(2015 : 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.) Il faut dans un premier temps dégager clairement les méthodes et les illustrer d'exemples significatifs. L'utilisation de séries génératrices est un outil puissant pour le calcul de certains cardinaux. Le jury s'attend à ce que les candidats sachent calculer des cardinaux classiques et certaines probabilités ! L'introduction des corps finis (même en se limitant aux cardinaux premiers) permet de créer un lien fécond avec l'algèbre linéaire.
(2014 : 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.) Il faut dans un premier temps dégager clairement les méthodes et les illustrer d'exemples significatifs. L'utilisation de séries génératrices est un outil puissant pour le calcul de certains cardinaux. Le jury s'attend à ce que les candidats sachent calculer des cardinaux classiques et certaines probabilités ! L'introduction des corps finis (même en se limitant aux cardinaux premiers) permet de créer un lien fécond avec l'algèbre linéaire.

Développements :

Plans/remarques :

2018 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.


2017 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.


2016 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.


2015 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.


Retours d'oraux :

2018 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

  • Leçon choisie :

    190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

  • Autre leçon :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Nombres de Bell

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):
  • Liste des références utilisées pour le plan :
  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    — Dans le développement, il apparaît un produit de Cauchy, alors le jury m'a un peu questionné dessus, car c'est un point sur lequel je suis passé rapidement. Ensuite, il s'est passé un truc étrange, toujours en rapport avec le développement : une partie du développement fait appel à une récurrence. Après le dév, un membre du jury me dit qu'il sait qu'il existe une preuve purement combinatoire, mais qu'il ne la connaît pas ; alors il m'a demandé si je la connaissais, mais non, donc ils sont passés à autre chose.
    — Après ça, ils m'ont donné en exercice le problème des chapeaux : n personnes ont un chapeau, qu'elles retirent en arrivant dans une salle et en partant, elles reprennent un chapeau au hasard. La question était de savoir quelle est la proba que personne ne reparte avec son chapeau, en faisant appel à des séries génératrices. J'ai transformé la question en un problème de permutation sans points fixes, et le jury m'a guidé pour les calculs, puis lorsque je suis presque arrivé au bout, ils sont passés à autre chose.
    — Ensuite, on est passé aux corps finis, mais mes souvenirs sont un peu flous. Si je me souviens bien, ils m'ont demandé de compter les sous-espaces de dimension k\le n dans F_p^n. J'ai introduit une action de groupe et bêtement, je me suis foiré sur le nombre de matrices de taille donnée à coefficients dans F_p.

    Après ça, c'était terminé.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Ils ont eu l'air contents que je choisisse la leçon 190. Ils ont été accueillants et courtois, mais peut-être un peu froids. L'un des membres du jury a passé tout l'oral à faire des blagues…

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    RAS

  • Note obtenue :

    10


2017 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.


2015 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.