Développement : Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini

Détails/Enoncé :

$\textbf{Théorème.}$ On a les isomorphismes de groupes suivants :
(1) $\textrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)=\textrm{SL}_2(\mathbb{F}_2)=\textrm{PGL}_2(\mathbb{F}_2)=\textrm{PSL}_2(\mathbb{F}_2)\cong\mathfrak{S}_3$.
(2) $\textrm{PGL}_2(\mathbb{F}_3)\cong\mathfrak{S}_4$ et $\textrm{PSL}_2(\mathbb{F}_3)\cong\mathfrak{A}_4$.
(3) $\textrm{PGL}_2(\mathbb{F}_4)=\textrm{PSL}_2(\mathbb{F}_4)\cong\mathfrak{A}_5$.

Recasages pour l'année 2025 :

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    J'ai détaillé les arguments donnés par Perrin, notamment pour le troisième isomorphisme qui mérite de regarder d'un peu plus près F_4 pour comprendre pourquoi SL(2, F_4) = PSL(2, F_4) = PGL(2, F_4). Attention aux probables nombreuses coquilles
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  • Remarque :
    Recasages: 101, 104, 105, 106, 123

    En fonction de la leçon, soit démontrer que le noyau est constitué des homothéties ou le lemme sur les sous-groupes d'indice n de Sn. Avec cette adaptation, ça passe en 14 minutes. Je fais également un tableau avec le cardinal de PGL_n, PSL_n et S_n.

    Pour les références, j'utilise principalement le Caldero, le Perrin pour le lemme et le Rombaldi c'est là qu'est démontré que le centre de GL_n c'est les matrices d'homothéties.

    Je suis passé dessus le jour J dans la leçon sur les corps finis. Voici les questions posées:
    - Quelle est la définition des groupes projectifs linéaires ? (j'avais directement quotienté par les homothéties)
    - Comment montrer que le centre de GL_n c'est les matrices scalaires ?
    - Quel est le cardinal des racines n-ièmes de l'unité sur F_q ? (j'ai seulement fait le cas n=2)
    - Comment montrer le lemme sur les sous-groupes de S_n ?
    - Pourquoi ces isomorphismes sont qualifiés d'exceptionnels ? (je conseille les vidéos de Phil Caldero sur le sujet qui explique notamment l'aspect historique)
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 510 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 122 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 145 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 143 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 627 versions au total)