(2020 : 123 - Corps finis. Applications.)
Une construction des corps finis doit être connue et une bonne maîtrise des calculs dans les corps finis est indispensable. Les injections des divers $F_q$ doivent être connues. Les applications des corps finis (y
compris pour $F_q$ avec q non premier !) ne doivent pas être oubliées. Par exemple, l’étude de polynômes à coefficients entiers et de leur irréductibilité peut figurer dans cette leçon. La structure du groupe
multiplicatif doit aussi être connue. L’étude des carrés dans un corps fini et la résolution d’équations de degré 2 sont envisageables.
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S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en détaillant des codes correcteurs ou en étudiant l’irréductiblilité des polynômes à coefficients dans un corps fini, ou encore en évoquant les formes
quadratiques, les groupes de Chevalley.
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Le jury m'a aidé à compléter mon développement qui avait deux trous (ce développement est assez long, pour pouvoir conclure j'ai passé vite).
J'ai eu du mal. Notamment comment le quotient des polynomes reste à coefficients entiers.
Dernier jour de mes oraux j'étais très fatigué avec une table de prof qui empêchait de se reculer du tableau pour voir plus large.
Q : construire le corps à 4 éléments. Table de multiplication. J'ai su faire.
Q : plonger le corps dans une extension (réponse : la dimension de l'e.v était fractionnaire donc pas possible de plonger le corps, toutes les puissances supérieures des nombres entiers ne conviennent pas). J'ai su faire
Q : différence entre irréductible et admettre des racines (sur des exemples velus). Critère d'irréductibilité dans une extension de corps.
Q : Sur le plan expliquer le lien avec les codes de Hamming (corps fini et décodage)
Q : Sur les corps de décomposition. Pas su répondre. en travaillant sur F27
Bienveillant, mais parfois j'avais un peu le sentiment d'avoir des rames...
J'aurais du proposer en dev la classification des formes quadratiques sur Fp, plus simple, que je maîtrisais bcp mieux. Il faut prendre un développement de niveau pas élémentaire mais qu'on maîtrise suffisamment. Le premier jour ce serait passé mais avec la fatigue, le dernier jour des oraux c'est dur....
Pronostic de note (casse gueule) : 11
12.5
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Exercices qui étaient pour la plupart en lien avec le développement développé. Aucune question sur le plan. Pas de question pédagogique.
Prendre un générateur de $F_q^*$ ($q=p^n$) et donner son ordre, en déduire le degré du polynôme minimal sur $F_p$. Cette question avait pour but de me faire dire que, lorsque l'existence de $F_q$ était établie, le résultat du développement, i.e. l'existence d'un polynôme irréductible de degré n sur $F_p$, devenait quasiment immédiat.
Ensuite, un deuxième exo qui me demandait de décomposer $X^8+X$ en irréductibles sur $F_4$.
Puis, un exo sur le morphisme de Frobenius F : déterminer noyaux et images des itérés $F^{°i}$, puis montrer que les itérés de F forment une base des automorphismes de corps de $F_q$, j'ai juste eu le temps de montrer que c'était une famille génératrice, puis il m'a dit que la liberté se montrait par argument de cardinalité.
Le niveau n'était pas bien difficile, mais le jury, sympathique, mettait un gros rythme dans son interrogation, ne me laissant souvent que peu de temps pour réfléchir. Je me suis sans doute parfois un peu précipité pour donner certaines réponses, ce qui m'a fait dire quelques bêtises.
Très surpris par le deuxième exo. Lorsque j'ai écris $F_4=\{0,1,\alpha,\alpha +1\}$, où $\alpha$ est racine de $X^2+X+1$, le jury m'a vite demandé si $\alpha$ était racine de $X^8+X$. Après quelques instants de réflexion, j'ai fini par dire que $\alpha^4=\alpha$ car $\alpha \in F_4$, et avant d'avoir le temps de poursuivre mon raisonnement, le jury m'a directement affirmé que $F_4$ était inclus dans $F_8$ puis a enchaîné sur la suite de l'exercice. Or je me suis aperçu, à tête reposée à l'issue de l'oral, que c'était complètement faux : durant tout l'exercice, le jury a fait comme si 8 était puissance de 4. Alors, soit le jury est particulièrement machiavélique en me donnant des résultats faux, mais comme il a enchaîné directement sans me laisser le temps de réfléchir à ce qu'il disait, et que les deux autres membres du jury n'avaient pas l'air au taquet sur l'exo, je pense plutôt que le jury n'a pas remarqué non plus son erreur.
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