Développement : Loi de réciprocité quadratique

Détails/Enoncé :

Soit $p,l$ deux nombres premiers distincts différents de 2
\[\left(\frac{p}{l}\right)\left(\frac{l}{p}\right)=(-1)^{\frac{(p-1)(l-1)}{4}}\]
où
\[\left(\frac{x}{p}\right)=\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \textrm{si $x$ est un carré dans $\mathbb{F}_p^*$} \\
0 & \textrm{si $x=0$}\\
-1 & \textrm{sinon}
\end{array}
\right.\]

Recasages pour l'année 2024 :

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  • Remarque :
    La seule difficulté est de se rappeler du changement de variable dans le calcul de s(1)^2. Celui que j'utilise n'est pas la seule possibilité mais il faut se rappeler de celle choisie. Il faut s'attendre à une question de calcul concret de symbole de Legendre pour voir l'utilité de ce résultat.
    (p153)
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Un max de maths , Zavidovique (utilisée dans 37 versions au total)
Cours d'arithmétique , Serre (utilisée dans 11 versions au total)
Théorie de Galois, Gozard (utilisée dans 29 versions au total)