Développement : Loi de réciprocité quadratique

Détails/Enoncé :

Soit $p,l$ deux nombres premiers distincts différents de 2
\[\left(\frac{p}{l}\right)\left(\frac{l}{p}\right)=(-1)^{\frac{(p-1)(l-1)}{4}}\]
où
\[\left(\frac{x}{p}\right)=\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \textrm{si $x$ est un carré dans $\mathbb{F}_p^*$} \\
0 & \textrm{si $x=0$}\\
-1 & \textrm{sinon}
\end{array}
\right.\]

Recasages pour l'année 2026 :

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    La seule difficulté est de se rappeler du changement de variable dans le calcul de s(1)^2. Celui que j'utilise n'est pas la seule possibilité mais il faut se rappeler de celle choisie. Il faut s'attendre à une question de calcul concret de symbole de Legendre pour voir l'utilité de ce résultat.
    (p153)
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    Je fais deux démonstrations car je voulais rester élémentaire dans le 121. Mais elle est un peu plus technique et suivant comment vous construisez votre 121 je pense que la démo par les sommes de Gauss se fait très bien.
    Attention aux coquilles.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Un max de maths , Zavidovique (utilisée dans 59 versions au total)
Cours d'arithmétique , Serre (utilisée dans 14 versions au total)
Théorie de Galois, Gozard (utilisée dans 63 versions au total)