Profil de 20-sided dice

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14/11/2020
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26/07/2021
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2021, option A
Résultat :
Admis

Ses versions de développements :

  • Développement :
  • Remarque :
    Ce développement est un peu long donc il ne faut pas hésiter mais il se fait sans trop de problème en 15 minutes.
    Pour le recaser dans les leçons 122 et 142, il faut insister sur les utilisations implicites de la principalité de $K[X]$ dans la démonstration (identité de Bézout, décomposition en facteurs premiers d'un polynôme).
    (p224)
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  • Développement :
  • Remarque :
    Version un peu plus forte que Dunford usuel : d et n sont des polynômes en f.

    Comme c'est un développement ultra classique, je conseille d'ajouter le commentaire sur les conséquences de la décomposition de Dunford dans l'étude de l'exponentielle de matrices (A est diagonalisable ssi e^A l'est), notamment son injectivité. Mais ça rend les choses compliquées en terme de temps.
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  • Développement :
  • Remarque :
    La seule difficulté est de se rappeler du changement de variable dans le calcul de s(1)^2. Celui que j'utilise n'est pas la seule possibilité mais il faut se rappeler de celle choisie. Il faut s'attendre à une question de calcul concret de symbole de Legendre pour voir l'utilité de ce résultat.
    (p153)
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  • Remarque :
    La rédaction du Gozard est assez minimaliste et est (je trouve) très bien complétée par les explications de Marie. Je me suis permis de réécrire ce développement avec ma propre rédaction en corrigeant une petite coquille de Marie (stabilité de L par addition), et en espérant ne pas en avoir ajouté.

    Le développement est trop court sans les corollaires, qui ne doivent pas être placés juste après le théorème dans le plan car on a besoin du fait que $\mathbb{F}_q^*$ est cyclique.
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  • Remarque :
    Soit $f :\mathbb{R}^{+*}\rightarrow\mathbb{R}^{+*}$ logarithmiquement convexe telle que $f(1)=1$ vérifiant l'équation fonctionnelle
    $$\forall x>0,~f(x+1)=x\cdot f(x).$$
    Alors $$f=\Gamma.$$

    Il est de renverser le plan de démonstration : montrer l'existence puis l'unicité, et déduire le lemme de l'unicité. Mais le lemme permettait de rajouter de la matière dans le développement.
    Il est possible de démontrer que $\Gamma$ est logarithmiquement convexe directement avec l'inégalité de Hölder, sans dérivation.
    On peut conclure le développement par un tracé approximatif de $\Gamma$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ à l'aide de ses valeurs sur les entiers et de sa convexité. Le théorème permet intuitivement de justifier que ce tracé approximatif n'est pas très éloigné de la courbe exacte.
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  • Développement :
  • Remarque :
    La complétion de la dernière ligne peut se faire par orthogonalité des colonnes ou des lignes.
    Il faut commenter la fin du développement par la liste exhaustive des sous-groupes distingués de $S_4$, intersections des noyaux des caractères irréductibles :
    $\{\text{Id}\},~\{\text{Id};(1~2)(3~4);(1~3)(2~4);(1~4)(2~3)\}$ et $S_4$
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  • Développement :
  • Remarque :
    Exemple pratique de construction de fonction continue partout dérivable nulle part.
    Développement original pas très difficile (même s'il faut faire attention à pas se perdre) mais je le trouve difficilement recasable.
    (p84)
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  • Remarque :
    Développement original qui permet de justifier la convergence en loi de $\mathcal{B}\left(n,\frac{\lambda}{n}\right)$ vers $\mathcal{P}(\lambda)$ avec une borne de l'erreur. L'inconvénient c'est qu'il faut apprendre la loi du couplage par cœur.

    Le Garet Kurtzman n'a pas exactement la même rédaction. Pour faire court, le livre part des lois marginales au lieu de partir de la loi du couple. Mais j'avoue ne pas avoir vérifié que la méthode de bakouche (que je me suis permis de réécrire ici) rebouclait bien avec ce qui est écrit dans ce livre.
    (pp 214, 450)
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  • Développement :
  • Remarque :
    Les calculs ne sont pas très longs mais en ayant une rédaction soignée, on arrive à bien montrer que la convergence n'est assurée que si $x_0$ est suffisamment proche du point d'annulation de $f$. Mais dans ce cas, on a aussi un contrôle sur la vitesse de convergence.
    C'est pourquoi en pratique on commence par utiliser une méthode moins forte comme la dichotomie avant d'utiliser Newton.
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  • Développement :
  • Remarque :
    Je reprends la méthode de Mathieu Dutour.
    Ce développement est très long mais on gagne un peu de temps en argumentant la régularité de $\lambda$ sans en donner l'expression explicite en invoquant le théorème des fonction implicites et le fait que $\lambda(x)$ est racine simple d'un polynôme.
    Il faut donner beaucoup d'explications à l'oral sans trop détailler et/ou sauter des points pour réussir à faire le développement en 15 minutes.
  • Fichier :

Ses plans de leçons :