Leçon 215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.

(2019) 215
(2021) 215

Dernier rapport du Jury :

(2019 : 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.) Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivées partielles, mais aussi de ce qui les distingue. Beaucoup de candidats sont mis en difficulté sur les concepts de base du calcul différentiel et ces notions sont à consolider, au-delà de cette leçon en particulier. On doit savoir trouver la différentielle d’applications classiques,comme, par exemple, $M \in Gl_n(\textbf{R}) \mapsto M^{-1}$, $M \mapsto M^2$ ou encore $M \mapsto det(M)$ en revenant à la définition. Il est important de bien comprendre le développement sous-jacent de $f(x+h)$. La notation $o$ est souvent source de confusions ; trop de candidats l’utilisent sans en maîtriser la signification. On doit pouvoir mettre en pratique le théorème de différentiation composée pour calculer des dérivées partielles de fonctions composées dans des situations simples (par exemple le laplacien en coordonnées polaires). La différentiation à l’ordre 2 est attendue, en lien avec la hessienne, notamment pour les applications classiques quant à l’existence d’extrema locaux. On peut aussi faire figurer dans cette leçon la différentielle d’applications issues de l’algèbre linéaire (ou multilinéaire). La méthode du gradient pour la minimisation de la fonctionnelle $\frac{1}{2}(Ax|x)-(b|x)$,où $A$ est une matrice symétrique définie positive, conduit à des calculs de différentielles qui doivent être acquis par tout candidat. $\\$ Pour aller plus loin, l’exponentielle matricielle est une ouverture pertinente. D’autres thèmes issus de la leçon 214 trouvent aussi leur place ici.

(2017 : 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.) Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivées partielles, mais aussi de ce qui les distingue. On doit pouvoir mettre en pratique le théorème de différentiation composée pour calculer des dérivées partielles de fonctions composées dans des situations simples (par exemple le laplacien en coordonnées polaires). La différentiation à l’ordre 2 est attendue, notamment pour les applications classiques quant à l’existence d’extrema locaux. On peut aussi faire figurer dans cette leçon la différentielle d’applications issues de l’algèbre linéaire (ou multilinéaire). La méthode du gradient pour la minimisation de la fonctionnelle $\frac{1}{2} (Ax | x) - (b|x)$ où $A$ est une matrice symétrique définie positive, conduit à des calculs de différentielles qui doivent être acquis par tout candidat. Pour aller plus loin, l’exponentielle matricielle est une ouverture pertinente. D’autres thèmes issus de la leçon 214 trouvent aussi leur place ici.
(2016 : 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications. ) Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivées partielles. On doit pouvoir mettre en pratique le théorème de différentiation composée pour calculer des dérivées partielles de fonctions composées dans des situations simples (par exemple le laplacien en coordonnées polaires). La différentiation à l’ordre 2 est attendue, notamment pour les applications classiques quant à l’existence d’extrema locaux. On peut aussi faire figurer dans cette leçon la différentielle d’applications issues de l’algèbre linéaire (ou multilinéaire). Pour aller plus loin, l’exponentielle matricielle est une ouverture pertinente. D’autres thèmes issus de la leçon 214 trouvent aussi leur place ici.
(2015 : 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.) Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivés partielles. Une bonne maîtrise du théorème de différentiation composée est attendue. L'énoncé doit être connu et compris ; il faut pouvoir l'appliquer dans des situations simples. Signalons aussi que cette application pose souvent problème lorsque l'une des fonctions en jeu est une fonction réelle de variable réelle, comme lorsque que l'on calcule la différentielle de l'application $x \longmapsto ||x||$ pour la norme euclidienne sur $\mathbb{R}^n$. La notion de différentielle seconde est attendue au moins pour les fonctions de classe applications classiques quant à l'existence d'extremums locaux.
(2014 : 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.) Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivés partielles. Le théorème de différentiation composée doit être connu et pouvoir être appliqué dans des cas simples comme le calcul de la différentielle de l'application $x \rightarrow ||x||^2$ pour la norme euclidienne sur $R^n$ . La notion de différentielle seconde est attendue au moins pour les fonctions de classe $\mathcal{C}^2$ ainsi que les applications classiques quant à l'existence d'extrema locaux.

Développements :

Plans/remarques :

2020 : Leçon 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.


2018 : Leçon 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.


2017 : Leçon 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.


2016 : Leçon 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2019 : Leçon 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Point de Fermat d'un triangle

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Sur le développement:
    Résumer à l'oral les différentes étapes de la preuve.
    Justifier que l'application qui à un point $M$ du plan euclidien associe sa distance $OM$ à l'origine n'est effectivement pas différentiable en l'origine. (Il n'y a pas de dérivées partielles en ce point)
    Justifier que le point $P$ qui réalise le minimum se trouve effectivement à l'intérieur du triangle, et est différent des sommets (choses que j'ai admises lors de la preuve).

    Sur le plan :
    Exemple de fonction qui a des dérivées directionnelles mais qui n'est pas différentiable.

    Exercices:

    Exercice du même type que celui dans Rouvière où il s'agit de prouver l'unicité d'un solution $(x,y)$ d'un système non linéaire mettant en jeu des fonctions trigonométriques. On traduit cela comme un problème de point fixe d'une fonction et on montre que sa différentielle est de norme $<1$ (pour une bonne norme). L'inégalité de la moyenne permet alors de conclure.

    Soit $f:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$ une fonction différentiable et $\alpha > 1$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes:
    Pour tout $t>0$ et $x\in \mathbb R^n$, $f(tx)=t^{\alpha}f(x)$.
    Pour tout $x\in \mathbb R^n$, $\sum_{i=1}^n x_i\partial_if(x) = \alpha f(x)$.

    Dans votre développement, vous avez utilisé le fait que la norme euclidienne est différentiable (sauf en l'origine). Est-ce vrai pour toutes les normes ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très souriant et très aimable.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    16.5


2018 : Leçon 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Lemme de Morse

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -Questions sur le développement : imprécision dans les notations du lemme présent dans le développement (application du théorème d'inversion locale), précision sur la somme directe (matrices symétriques/antisymétriques)

    -Concernant le théorème sur les extrema locaux (notations de Monge) : connaissez vous un autre théorème qui concerne les extrema. J'ai nommé le théorème des extrema liés (sans pouvoir le citer)

    -Application du théorème des fonctions implicites pour montrer que $AB-I_n$ (avec A matrice inversible) avait comme solution $B=A^{-1}$

    -Si t appartient à l'intervalle $\left]\frac{-1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}}\right[$ : montrer qu'il existe une unique solution à l'équation cos(tx)+sin(tx)=x. Le jury m'a fait remarqué que l'on peut l'écrire f(x)=x. J'ai pensé au théorème du point fixe, donné les hypothèses. Il fallait faire une majoration sur le signe de la dérivée pour voir que f était strictement contractante.
    Ensuite, montrer que l'on peut écrire t en fonction de x (application du théorème des fonctions implicites)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury peu aidant pour les questions

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Extrema liés

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    La défense du plan et la présentation du développement se sont passés sans problème. Ils m'ont posé quelques questions sur le développement et sur les sous-variétés de $\mathbb{R}^n $ (Je présentais les Extrema liés sans mentionné les sous-variétés).Ils m'ont posé quelques questions sur mon plan et se sont plus particulièrement concentrés sur la partie Optimisation. je me souviens de deux questions : "Pourquoi une fonction convexe qui admet un minimum local admet un minimum global", "pourquoi $ x \longmapsto Ax \cdot x $ est convexe lorsque A est une matrice symétrique positive". Ces petites questions venaient principalement d'un des trois membres du jury. Il m'a également demandé un contre-exemple au théorème des extrema liés dans la cas où les gradients ne forment pas une famille libre. Je lui ai fait remarqué que j'en avais mis un dans le plan et il m'a demandé de le traiter. Un des deux autres membres du jury me posait des exercices tels que :
    - A quelle condition sur une matrice M, on peut inverser localement l'application $A \longmapsto A^2$ dans Mn(R) ?
    -Appliquer le théorème des extrema liés sur une fonction qui admet un extremum local sur la sphère euclidienne.
    -Soient f et g deux applications de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^n$ à valeurs réelles. Il y avait des conditions sur f et g et il fallait montrer que f/g se prolonge en une fonction $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^n$.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très sympathique et a cherché à me mettre en confiance dès que je suis entré dans la salle.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Aucune surprise.

  • Note obtenue :

    18


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 224 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 292 versions au total)
Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire (utilisée dans 34 versions au total)
Mathématiques analyse L3 , Marco (utilisée dans 8 versions au total)
Introduction aux variétés différentielles , Lafontaine (utilisée dans 18 versions au total)
Developpements d'analyse , Madere (utilisée dans 1 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 56 versions au total)