Développement : Maximum d'une fonction définie sur R^n

Détails/Enoncé :

Référence Exercice 8.19 p. 514 - Dugardin, Rezzouk

On considère l'ensemble
\[
\mathcal{K}_n = \lbrace x = (x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^{n}_{+}, x_1+\dots+x_n=1 \rbrace
\]
ainsi que la fonction
$$
\begin{array}{ccccc}

f & : & \mathbb{R}^n & \to & \mathbb{R} \\

& & x & \mapsto & \dfrac{1}{2} \underset{i \neq j}{\sum} x_i x_j \\
\end{array}
$$
On utilisera la norme 1.

1) Justifier que la restriction de $f$ à $\mathcal{K}_n$ est majorée et qu'elle atteint sa borne supérieure en au moins un point de $\mathcal{K}_n$. Dans la suite on notera $M_n$ ce supremum.

2) Calculer $M_2$.

3) Soit $a \in \mathcal{K}_n$ tel que $M_n = f_n(a)$.
a) En considérant la fonction $g_n : x \mapsto f_n(x) - f_n(a) \lVert x \rVert_{1}^{2}$, démontrer que si $a \in \mathbb{R}_{+}^{*n}$, alors $\nabla f_n(a) = f_n(a) \cdot \begin{bmatrix}
1 \\
\vdots \\
1
\end{bmatrix}$.

b) Conclure alors par récurrence sur $n$ en ce qui concerne la valeur de $M_n$.

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