Théorème de Sard (version faible)

Développement asymptotique de la série harmonique

Développement asymptotique de la série harmonique

Mis à jour le 5.06.17

Développement asymptotique de la série harmonique

Nombres de Bell

Suite récurrente : convergence lente

Sous-groupes de (R,+)

Inégalités de Kolmogorov

Connexité valeurs d'adhérence suite dans un compact

Version avec en application le lemme de la grenouille

Étude de deux suites récurrentes

Théorème de Sard (version faible)

Développement asymptotique de la série harmonique

Pour la leçon 230.

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.

Développement asymptotique de la série harmonique

Développement pas très compliqué mais il faut se méfier parce qu'il y a un peu de calcul quand même.
(p156)

Inégalité de Carleman

Irrationalité de pi

Lemme de division et applications

Ref : FGN oraux X-ENS Analyse 1 p.276.

Suite récurrente : convergence lente

Développement asymptotique de la série harmonique

C'est très bien fait dans les deux références (mais le Isenmann-Pecatte a été interdit aux oraux mon année).

Développement pouvant être utilisé dans les leçons 223, 224 et 230.

Développement asymptotique de la série harmonique

Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/5830589f-b36f-44a9-9da7-e72594c97973/Developpement_asymptotique_de_la_serie_harmonique.pdf?id=b416f33e-e785-4b34-aca7-db16eaba852b&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689890400000&signature=U7lkhhT1I2YNWxxV1N-Csqveikp2he9237ZnsJDaqlI&downloadName=Développement+asymptotique+de+la+série+harmonique.pdf

Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4

Développement asymptotique de la série harmonique

Inégalité de Carleman

Théorème de réarrangement de Riemann

Approximation diophantienne

C'est en quelque sorte un prolongement du développement sur les sous-goupes additifs de $\mathbb R$ qui lui aussi ne rentre que dans la leçon sur les suites. Je conseille toutefois de connaître une idée de démonstration.

Le développement en lui-même n'est pas extrêmement difficile, c'est une succession d'étapes et de raisonnements assez élémentaires.

Théorème de réarrangement de Riemann

La preuve du FGN est un peu différente de la mienne mais je pense qu'on voit mieux ce qu'on fait. J'espère que ça vous convaincra !

Lemme de la grenouille

FGN p.86
Gourdon p.46

Développement asymptotique de la série harmonique

Un développement qui déroule vraiment bien. Je le trouve vraiment facile (j'ai hésité à le prendre pour cette raison : un développement trop facile ne passe pas trop à l'oral).

On démontre un équivalent simple des restes des séries de Riemann convergentes, puis on trouve le développement asymptotique à trois termes de la série harmonique (précision : 1/n).

Attention aux coquilles.

Développement asymptotique de suites definies par récurrence

Développement pas trop compliqué mais il y a quelques subtilité avec toutes ces manipulations d'équivalents ! J'aime bien la version que je propose car on donne un théorème général, on étudie une suite convergente et enfin on étudie une suite divergente donc c'est assez varié !

Je le prends pour les leçons 223, 224 et 226.

On trouvera les preuves aux alentours de la page 99 de la référence.

Développement asymptotique de la série harmonique

Développement tranquille je trouve, ça fait du bien de temps en temps.

Je le prends pour les leçons 224 et 230.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 156.

Développement asymptotique du nombre moyens de diviseurs

Lemme de la grenouille

Il est fondamental de faire un dessin et de bien expliquer les constructions !

Sinon, c'est assez sympa à faire mais faut l'avoir préparer. Je le mets dans 204, 223, 226.

Développement asymptotique de la série harmonique

Je vais jusqu'à un $o(1/n^3)$ car c'est un $0$. C'est que du calcul, je ne le prends pas mais c'est un développement pas compliqué mais qu'il faut savoir faire de toute façon à mon avis.

Théorème de Sharkovski

Un joli résultat qui ne présente pas de difficultés, et s'expose bien. Me contacter si vous repérez des coquilles!

Développement asymptotique de la série harmonique

Bon... Développement d'un intérêt faible à modéré à mon goût, mais il faut bien des développements pour la leçon sur les développements asymptotiques.

Côté recasages à mon avis:
Développements asymptotiques
Séries de nombres réels et complexes

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Suite récurrente : convergence lente

Facile et rapide.

Développement asymptotique de la série harmonique

Bien être attentif aux calculs.

Développement asymptotique d'une suite récurrente

Développement pour les leçons : 223, 224, 226, 230.
Pour les leçons 223, 224, 226 on peut montrer le théorème de Césaro au lieu du théorème 1.1.
(Attention il peut y avoir des coquilles)

Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.

Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

J'ai remplacé le théorème de réarrangement de Riemann (certes très rigolo) par le théorème d'Abel angulaire et le théorème taubérien faible.

Connexité. Exemples et applications.

Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

Plan un peu court.

Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.

Je suis passé en avril en oral blanc dessus. Ce plan a donc été fait en temps limité (1h30 sur le plan, le reste sur le dev). Le jury m'a dit que la partie sur l'équirépartition était superflue. Je suis assez d'accord, si j'étais repassé dessus j'aurai mis plus de résultats sur les entiers algébriques, et j'aurai mis le théorème de Burnside (les groupes de cardinal p^aq^b sont résolubles) en développement. Globalement le plan est béton je pense; il m'a valu un 18. Je vais voir pour le taper en LaTeX pour une meilleure lisibilité, mais par rapport à mes autres plans je le trouve assez lisible!
Si ça peut servir : voilà les questions que j'ai eu. Je saute celles sur le dev.
On m'a fait étudier l'anneau des décimaux, qui est principal, et on m'a fait déterminer ses inversibles.
On m'a demandé le lien entre Z[isqrt(2)] et Q[isqrt(2)] (anneau des entiers), et si c'était toujours comme ça (ça dépend de d mod 4)
On m'a demandé pourquoi j'appelais mon stathme N dans mon développement : c'est la norme de l'extension Q[isqrt(2)] sur Q. On m'a demandé ce que je savais là dessus.
On m'a demandé si culturellement je savais quels étaient les noms associés à la transcendance de e.
On m'a demandé de prouver que les nombres algébriques formaient un corps algébriquement clos.
On m'a fait déterminer les triplets pythagoriciens de la forme (n,n+1,m).
Et peut être d'autres choses que j'ai oublié!
N'hésitez pas à me contacter pour toute remarque ou question.

Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

Voici un plan possible pour la leçon 223.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

Voici un plan possible pour la leçon 224.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.

Voici un plan possible pour la leçon 226.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Voici un plan possible pour la leçon 230.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Formules de Taylor. Exemples et applications.

J'aime pas.

Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

J'aime bien.

Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

J'aime pas du tout.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.

J'aime bien.

Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.

J'aime bien.

Il faudrait ajouter en ref un livre de MPSI.