Développement : Nombres de Bell

Détails/Enoncé :

Pour tout $n \in \mathbb{N}_{> 0}$, on définit $B_n$ comme étant le nombre de partition de $\{1 , \ldots , n \}$. Alors ces nombres vérifient

$$ B_n =\frac{1}{e} \sum_{k \ge 0} \frac{k^n}{n!} $$

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    Énoncé : Pour tout entier naturel $n$ non nul, $B_n$ désigne le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble à $n$ éléments. Et l'on conviendra que $B_0=1$.
    Alors :
    -- Pour tout $n\in\mathbb{N}$,
    \begin{equation}B_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n\\k\\ \end{pmatrix}B_{n-k}.
    \end{equation}
    -- La série entière de la variable réelle $t$, $$\sum\limits_{n\ge 0}\frac{B_n}{n!}t^n$$
    a un rayon de convergence $R$ non nul et sa somme $S$ vérifie :
    $$
    \forall t\in \,]-R,R\,[, \;S'(t)= \exp(t)S(t).
    $$
    -- Pour tout entier naturel $n$,
    $$
    B_n=\frac 1 e\sum\limits_{p=0}^{+\infty} \frac {p^n }{ p! }\hbox{ (formule de Doblinski)}.
    $$

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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    Recasages: 190, (241, 243)

    Le recasage dans les 241 (suites et séries de fonctions) et 243 (séries entières) sont contestables, dans la mesure où, dans l'absolu, les séries entières sont inutiles. On travaille avec des séries génératrices, qui sont des séries formelles. Le seul argument que je vois en faveur de l'utilisation des séries entières est la résolution de l'équation différentielle, qui peut en théorie être traitée dans l'anneau des séries formelles, mais cela dépasse le cadre du programme.

    Bernis p266, FGN p12

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
  • Références :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 113 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 130 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 38 versions au total)