(2016 : 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications. )
Les candidats évoquent souvent des critères (Cauchy, D’Alembert) permettant d’estimer le rayon de convergence mais oublient souvent la formule de Cauchy-Hadamard. Le jury attend bien sûr que le candidat puisse donner des arguments justifiant qu’une série entière en 0 dont le rayon de convergence est R est développable en série entière en un point $z_0$ intérieur au disque de convergence et de minorer le rayon de convergence de cette série. Sans tomber dans un catalogue excessif, on peut indiquer les formules de développement de fonctions usuelles importantes ($\exp$, $\log$, $1/(1-z)$, $\sin$, ...). Le jury attend également que le candidat puisse les donner sans consulter ses notes. En ce qui concerne la fonction exponentielle, le candidat doit avoir réfléchi au point de vue adopté sur sa définition et donc sur l’articulation entre l’obtention du développement en série entière et les propriétés de la fonction. À ce propos, les résultats sur l’existence du développement en série entière pour les fonctions dont on contrôle toutes les dérivées successives sur un voisinage de 0 sont souvent méconnus.
Le théorème d’Abel (radial ou sectoriel) trouve toute sa place mais doit être agrémenté d’exercices pertinents. Réciproquement, les théorèmes taubériens offrent aussi de jolis développements. On pourra aller plus loin en abordant quelques propriétés importantes liées à l’analyticité de la somme d’une série entière.
243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
J'ai eue des questions sur le plan (notamment sur des propositions fausses que j'ai corrigé à l'oral) et sur la convergence de mes contre exemples de séries qui convergeaient ou non sur leur disque de convergence (trouvé dans le Hauchecorne)
Plutôt pas content mais pas méchants. Le jury a pas du tout apprécié l'exemple du Gourdon d'utilisation du théorème d'Abel car il y a plus simple que ça pour le résoudre (et il me l'on demandé en questions). Aussi, du au stress j'ai mal définis les Ek dès le début de mon développement donc ils m'ont arrété (et redemandé une définition plus rigoureuse en nommant mes partitions à la fin du développement). Aussi, ça a perturbé le jury que mes indices k et n soient inversés àla fin de ma preuve par rapport à l'énoncé.
Mon développement à duré trop longtemps (17 min avec leur intervention) mais ils me l'on dit et m'ont laisser quand même conclure (donc c'est cool, ils étaient pas à la minute près). Sinon c'est long 20 min de questions, ça ressemble beaucoup aux oraux de concours je trouve.
PS: j'ai pas encore ma note (je pense que ça se voit)
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243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Que exercices sur le plan.
Une variable aléatoire discrète admettant des moments à tout ordre est-elle caractérisée par ses moments? (en rapport avec les séries génératrices)
Calculer $\sum_{1}^{+ \infty} \frac{(-1)^n}{n}$
Si f est DSE en 0 avec un RCV de 1, est-elle DSE en 1/2? Quel est le RCV?
Connaissez-vous une autre démonstration du théorème de d'Alembert que celle à partir du théorème de Liouville? (avec des outils plus simples)
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Sur le plan puis quelques exos.
- prouver le critère d'Abel implique celui de Cauchy
- si $f$ est DSE de rayon de convergence $R\textgreater0$ et si $r\textlesserR$, calculer $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left|\ f\left(r\ e^{i\theta}\right) \right|^{2} \, \mathrm{d}\theta$
Dans le cas où $R\textgreater1$ et les coefficients du DSE sont entiers, montrer que $f$ est un polynôme
- si $\Sigma\ a_{n}z^{n}$ a un rayon de convergence non nul, que peut-on dire de celui de $\Sigma\ \frac{a_{n}z^{n}}{n!}$ ?
- époque et motivation des séries entières ?
Jury très agréable et souriant.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.