Développement : Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel

Détails/Enoncé :

On considère l'équation différentielle $xy'' + y' + xy = 0$.
Il existe une unique solution développable en série entière en $0$ et valant $1$ en $0$. C'est

$$ f(x) = \sum_{n \ge 0} \frac{(-1)^n}{4^n (n!)^2} x^n $$

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Recasages pour l'année 2022 :

221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
220 : Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.
243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

Autres années :

Versions :

Version de Lucas

Auteur :
Lucas
Référence :
- Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- dvpt_bessel.pdf

Version de Zakhysni

Auteur :
Zakhysni
Remarque :
La première partie est à zapper sinon on manque trop de temps pour le reste !

Pour la dernière justification dernière partie sur l'équivalence avec l'intégrale, on trouvera le théorème qui nous donne cela dans le Gourdon d'Analyse !
Référence :
- Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Dev1.pdf

Version de Coquillages & Poincaré

Auteur :
Coquillages & Poincaré
Fichier :
- Developpement Equation de Bessel.pdf

Version de Owen

Auteur :
Owen
Remarque :
On montre également que si $f_0$ est la solution valant 1 en 0; et $f$ une autre solution sur un intervalle $]0,a[$, alors $(f,f_0)$ est libre si et seulement si $f$ n'est pas bornée au voisinage de $0$.
Référence :
- Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Équation de Bessel (220,221).pdf

Version de 20-sided dice

Auteur :
20-sided dice
Remarque :
Exemple d'utilisation des séries entières pour résoudre des équations différentielles.
La dernière partie sur la preuve de la formule intégrale étant juste une vérification par le calcul qu'elle vérifie l'équation, elle peut être abrégée si on manque de temps.
Référence :
- Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Équation de Bessel.pdf

Version de Titi le mathématicien

Auteur :
Titi le mathématicien
Remarque :
https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine/
Fichier :
- Solution DESE de l'équation de Bessel.pdf