Leçon 239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

(2018) 239

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 239 - Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.) Souvent les candidats incluent les théorèmes de régularité (version segment — a minima — mais aussi version « convergence dominée ») ce qui est pertinent. Cette leçon peut être enrichie par des études et méthodes de comportements asymptotiques. Les propriétés de la fonction $\Gamma$ d’Euler fournissent un développement standard (on pourra y inclure le comportement asymptotique, voire son prolongement analytique). Les différentes transformations classiques (Fourier, Laplace,... ) relèvent aussi naturellement de cette leçon. On peut en donner des applications pour obtenir la valeur d’intégrales classiques (celle de l’intégrale de Dirichlet par exemple). Le théorème d’holomorphie sous le signe intégrale est trop peu souvent cité. Pour aller encore plus loin, on peut par exemple développer les propriétés des transformations mentionnées (notamment la transformée de Fourier, par exemple en s’attardant sur le lien entre régularité de la fonction et décroissance de sa transformée de Fourier), ainsi que de la convolution.

(2016 : 239 - Fonctions définies par une inégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications. ) Souvent les candidats incluent les théorèmes de régularité (version segment — a minima — mais aussi version “convergence dominée”) ce qui est pertinent. Cette leçon peut être enrichie par des études et méthodes de comportements asymptotiques. Les propriétés de la fonction $\Gamma$ d’Euler fournissent un développement standard (il sera de bon ton d’y inclure le comportement asymptotique). Les différentes transformations classiques (Fourier, Laplace, . . .) relèvent aussi de cette leçon. On peut en donner des applications pour obtenir la valeur d’intégrales classiques (celle de l’intégrale de Dirichlet par exemple). Pour aller plus loin, on peut par exemple développer les propriétés des transformations mentionnées (notamment Fourier), ainsi que de la convolution.
(2015 : 239 - Fonctions définies par une inégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.) Cette leçon peut être enrichie par des études et méthodes de comportements asymptotiques. Les différentes transformations classiques (Fourier, Laplace, ...) relèvent aussi de cette leçon.
(2014 : 239 - Fonctions définies par une inégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.) Cette leçon doit être enrichie par des études et méthodes asymptotiques et les transformations classiques (Fourier, Laplace, etc.).

Plans/remarques :

2018 : Leçon 239 - Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.


2017 : Leçon 239 - Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.


2016 : Leçon 239 - Fonctions définies par une inégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2017 : Leçon 239 - Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Mes 2 autres développements: UC des translation +Riemann Lebesgue (dév choisi) et la ln convexité de Gamma (que l'on peut trouver dans le bouquin A curse of integration de Lerner)

    Autres références: Daniel Li, Cours d'analyse fonctionnelle et A curse of integration de Lerner

    1ière question: C'est quoi la définition d'une suite qui tend vers 0? Parce que vous l'avez mal montré dans la démonstration de l'UC des translations.
    J'ai pas su répondre correctement mais je pense que comme y'avait tous les éléments dans mon développement ils ont pensé que c'était juste dû au stress/fatigue.

    2ième question: Soit A mesurable de R^n de mesure non nulle et de mesure finie. Montrer que A+(-A) contient un voisinage de 0.
    Indication: Poser f=indicatrice de A, g=indicatrice de -A et convolez. Je dis pk la convolée a un sens et j'écris seulement la définition de la convolution parce que je ne vois pas où ils veulent en venir.
    Que pouvez-vous dire de la régularité? Je réponds que c'est continue et que ça tend vers 0 en l'infini parce que c'est L2/L2
    C'est quoi le résultat de la convolée en 0? c'est égale à la mesure de A
    Concluez. J'ai pas su conclure

    3ième question: Est-ce toutes les fonctions de L1 ont une transformée de Fourier L1? Moi bêtement je cherche à calculer la transformée de fourier d'une indicatrice... et j'y suis arrivé tellement péniblement qu'ils m'ont arrêté.
    Une meilleure réponse eût été que si c'était le cas, alors en utilisant l'inversion de Fourier on aurait que toutes les fonctions de L1 auraient un représentant continu ce qui n'est pas le cas....

    4ième question: On pose F(t)= l'intégrale de -l'infini à + l'infini de e^(izx+itx)dx
    Calculez-là.
    Je vois bien que c'est la transformée de fourier d'une gausienne dilatée mais je cafouille énormément et j'oublie même de dire à quelles conditions sur z c'est intégrale existe... Le coup du i devant le z me perturbe et en plus j'avais oublié ma référence dans lequel ce calcul est fait.
    J'ai montré que la fonction était holomorphe sous le signe somme.
    Je ne me souviens plus très bien mais en gros ça c'est terminé par comment calculeriez-vous cette intégrale? On prend des z sur lesquels on peut calculer facilement l'intégrale puis à l'aide du théorème de prolongement des identités on trouve le résultat en général.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Il y avait une femme muette à part quand elle a posé la 4ième question... et là j'ai compris pourquoi, elle ne parle pas bien français... j'ai mis 5 minutes à comprendre la question et les 2 autres gugusses ne m'ont pas aidé à l'écrire...
    De temps en temps je disais que je ne voyais pas où ils voulaient en venir mais ils se contentaient de me regarder puis au bout de quelque temps sans qu'il ne se passe rien j'avais le droit à une indication ou alors on passait à une autre question.

    Je pensais vraiment que j'aurais 5....

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    La différence de niveau de la 1ère réelle question (pas celle sur mon dév) et de mon plan m'a paru abyssale ...
    J'ai oublié une de mes références d'intégration :/

    Déçu de ne pas pouvoir reprendre mon plan :/

  • Note obtenue :

    12


2016 : Leçon 239 - Fonctions définies par une inégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    239 : Fonctions définies par une inégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    262 : Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Densité des polynômes orthogonaux

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'ai été étonné car j'ai eu beaucoup de questions sur mon développement et sur mon plan, mais presque aucun exercice.

    Sur mon développement (densité des polynômes orthogonaux) ils m'ont demandé pourquoi il suffisait de montrer que $ \int fx^n=0 \forall n \Rightarrow f=0$ pour avoir la densité, je me suis un peu embrouillé en parlant d'abord des conséquences de Hahn Banach (la caractérisation des sous espaces denses par les formes linéaires), puis ils m'ont rappelé qu'on était dans un Hilbert et j'ai fait la démo normale.

    J'ai eu des questions un peu bizarre, genre pourquoi $\hat{f}=0 \Rightarrow f=0$, alors que j'avais dit trois fois qu'à cet endroit là j'utilisais l'injectivité de la transformée de Fourier. Aussi dans le développement on se place sur un intervalle $I$ et ensuite on se ramène à une fonction sur $\mathbb{R}$, et ils m'ont demandé à quoi servait l'intervalle $I$, pas trop compris...

    Questions sur le plan :
    -Pourquoi j'ai rayé le Lemme du Riemann-Lebesgue dans mon plan? Parce que je me suis rendu compte que je l'avais déjà mis avant sous une autre forme héhé
    -Pourquoi si $f,g\in L^1$ alors $f \star g \in L^1$. Meme chose avec $f\in L^p, g\in L^q$
    -Vous avez dit qu'on a pas besoin de la convergence dominé pour montrer le théorème d'analycité sous l'intégrale, pourquoi? Parce que voilà : paf recasage de la démo que j'avais relu 5mn avant (cf Faraut, si je me trompe pas c'est juste un théorème moins fort d'interversion de somme et d'intégrale). Hmm oui mais non, alors comment on caractérise une fonction analytique en terme de différentielle? Ben comme ça. Bon ok. Fin de la question
    -Qu'est ce qu'il se passe dans le théorème de continuité si on intègre sur un segment? Ben ça marche tout le temps pour peu que la fonction soit continue en les deux variables

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un des membres du Jury avait l'air de comprendre tout ce que je disais, du coup quand les autres comprenaient pas une démonstration ils lui demandaient "tu as compris?" il disait oui et on passait à autre chose, c'était un peu le boss final de l'oral. Un autre m'a un peu énervé (le prof de prépa je pense) parce qu'il posait mal ses questions et je comprenais pas ce qu'il voulait dire... Par exemple à un moment dans mon plan je parlais du lien entre la fonction gamma et la surface d'une sphère, et donc j'introduit une mesure (cf Faraut) définie en fonction de la mesure de Lebesgue (pour info, si $\lambda$ est la mesure de lebesgue, la nouvelle mesure c'est $ \sigma(E)=\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{1}{\epsilon}\lambda(\{ru | u\in E, 1 \leq r \leq 1+\epsilon\})$). Je sais pas ce qu'il a pas aimé la dedans, mais il trouvait cette mesure bizarre (alors que le boss avait l'air d'accord avec ce que je disais) et il m'a parlé de ça pendant longtemps, ça a un peu cassé le rythme de l'oral.

    Quand le boss a enfin pu me poser des questions il avait l'air très content, il souriait et je l'ai même fait rigoler. Jury plutot agréable dans l'ensemble, à aucun moment ils n'ont cherché à me déstabiliser ou à me piéger.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.