Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd)

Densité des fonctions tests dans Lp

Intégrale de Dirichlet et séries de Fourier

Le Faraut calcule l'intégrale du sinus cardinal, mais pas par holomorphie… Et je n'ai pas réussi à trouver de référence pour ça.

Intégrale de Dirichlet

Transformée de Laplace et intégrale de Dirichlet

Recasages: 235, 236, 239

Faraut p99 (ma version préférée)
Bernis p259 (je n'aime pas l'approche de la preuve de la continuité en 0)
FGN p214


Mon site: https://esuong-maths.fr

Théorème de Fourier-Plancherel

Tous mes développements tapés au propre à l'ordi à l'adresse suivante : https://www.acarpentier.eu/developpements/

Intégrale de Dirichlet

Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

Encore un développement où j'ai admis plusieurs passage par manque de temps.

Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

La fin de la 1ère partie et le début de la 3ème font plus "études de fonctions" que "études d'espaces de fonctions"

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Problèmes d’interversion en analyse.

J'ai ajouté la dernière partie sur l'intervention de quantificateurs plus tard, conformément au rapport 2023.
(Je la rédigerai dès que possible)

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

Transformation de Fourier. Applications.

Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !

TL1 = Tout-en-un pour la licence 1

Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !

TL1 = Tout-en-un pour la licence 1

Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

Transformation de Fourier. Applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !

TL1 = Tout-en-un pour la licence 1

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

On peut parler de beaucoup de choses et d'espaces dans cette leçon. Il faut faire attention au fait que c'est une leçon sur les espaces de fonctions et non pas sur les fonctions en elles-mêmes. Il faut donc éviter de mettre trop de choses en rapport avec les propriétés des fonctions et plutôt donner des propriétés sur les espaces (densité, compacité, etc.).

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Espaces complets. Exemples et applications.

Il faut bien connaître des exemples d'espaces complets mais aussi d'espaces non complets et savoir justifier pourquoi ils ne le sont pas. Le théorème de Baire et ses conséquences est un bon investissement à faire pendant l'année.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Le lemme de Baire et ses conséquence n'est pas obligatoire mais c'est un bon investissement à faire pendant l'année. En revanche, parler des espaces de Hilbert semble indispensable sinon la leçon risque d'être trop courte et trop pauvre en résultats.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Cette leçon est assez longue donc il faut se resteindre sur la partie concernant la théorie de la mesure, on peut choisir de développer plus mais à ses risques et périls car la construction de la mesure de Lebesgue est hors programme. Il ne faut pas maîtriser entièrement les démonstrations des théorèmes de Fatou, de convergence dominée et monotone (qui sont difficiles)... Cependant il faut bien savoir les utiliser !

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Problèmes d'interversion de symboles en analyse.

Les incontournables sont la convergence uniforme et toutes les interversions qui en découlent, les théorèmes de théorie de la mesure, les théorèmes sur les intégrales à paramètres, etc. Il faut bien accompagner ces théorèmes d'exemples et d'applications. On peut également penser aux interversions de symboles avec la convergence uniforme ou le lemme de Baire.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

Il faut mettre des manières classiques de calculer les intégrales (intégration par partie, changement de variable) ainsi que les théorèmes de convergence en pensant à bien les illustrer par des exemples. On peut donner d'autres manières de calculer des intégrales comme par exemple avec les probabilités ou l'analyse complexe.
Donner des calculs approchés d'intégrales paraît indispensable également et il faut faire des exercices afin de retenir des "méthodes classiques".

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Leçon faite à l'oral devant un professeur, le plan a bien été validé. On peux parler de transformée de Fourier (Plancherel et formule d'inversion) si on le souhaite mais ce n'était pas mon cas.
Les gros théorèmes prennent beaucoup de place, une suggestion était de ne pas les écrire pour pouvoir mettre plus d'exemples (mais alors il faut être capable de donner l'énoncé parfaitement).
C'est une des leçons où j'utilise le plus de références, mais je n'ai pas trouvé de livre qui me convienne et qui traite une partie entière de la leçon.

Pour la partie sur l'analyse complexe, il faut mieux se placer sur un ouvert convexe plutôt qu'un ouvert simplement connexe (cela permet d'éviter les questions sur l'homotopie).

TL1 = Tout-en-un pour la licence 1
LES = Variables complexes, Lesfari

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Pas très fan de cette leçon, je ne suis pas sûr que mes parties sur la convolution et la transformée de Fourier soient pertinentes (j'avais l'impression que l'esprit de la leçon était de se concentrer sur les espaces de fonctions et pas les fonctions elles-même).
Le développement sur Young-Holder-Minkowski est justifié car il permet de munir ${L}^{p}$ d'une norme et donc d'en faire un espace vectoriel normé.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

J'ai fait cette leçon dans le cadre d'une mesure $\mu$ quelconque (pour pouvoir suivre les livres), je pense que pendant la présentation il faut insister sur le fait que sauf mention contraire, les éléments du plan s'appliquent avec la mesure de Lebesgue $\lambda$.
La leçon n'est pas très longue à faire car la première partie est de la théorie de la mesure générale avec les théorèmes principaux (TCM-Fatou-TCD), et les autres parties se prennent tel quel dans d'autres leçons.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Problèmes d’interversion de symboles en analyse

Cette leçon est à faire tôt dans l'année, car permet de réviser les théorèmes d'intégration (notamment leurs hypothèses précises) ce qui va forcément servir pour les écrits.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

Cette leçon est assez vaste, on peut choisir vers quels domaines on souhaite l'orienter. Pour ma part, j'aimais beaucoup cette leçon, notamment car la partie sur les probabilités était vaste.
Le seul bémol est que j'ai eu besoin de beaucoup de références, mais bon ce sont les mêmes que pour les leçons 235 et 236 donc à la longue on arrive à les retenir.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

C'est la seule leçon où dans l'intitulé il y a écrit "exemples et contre-exemples" donc il faut être notamment au point sur les contre-exemples des modes de convergences (le Hauchecorne est fait pour ça).

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Transformation de Fourier. Applications.

Tout est fait dans le El Amrani. Je n'avais pas envie de parler de l'espace de Schwarz, mais je pense qu'il faut au moins parler de la transformée de Fourier dans $L^2$ (attention aux différentes définitions, il y a des subtilités).
C'est une des nombreuses leçons où il est utile de maitriser la théorie des probabilités, car cela permet de bien la remplir : la fonction caractéristique peut être vue comme la transformée de Fourier de la mesure de probabilités. On peut donc lister toutes les propriétés de la fonction caractéristique et ses nombreuses applications. Cela permet aussi d'utiliser un développement qui se recase dans les leçons de probabilités, par exemple la démonstration du TCL.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel iteairem de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Transformation de Fourier. Applications.

De tous les plans que j'ai fait, c'est mon préféré. J'adore cette théorie. Je suis passé dessus pendant l'année et le plan a été validé. J'ai construit la leçon (et les 6 minutes aussi) comme l'idée qu'on veut généralisé les séries de Fourier mais pour des fonctions qui ne sont plus périodiques. Je commençais mes 6 minutes avec un petit calcul informel que vous trouvez dans le Dym. Cela amène à se poser les questions de quand est-ce qu'on peut définir la transformée d'une fonction et quand a-t-on le droit d'inverser ? On le fait dans 3 cadres (ceux du rapport on invente rien ) : S(R), L1 et L2. Le choix de commencer par L1 ou par S(R) est personnel. Le premier suit l'histoire, mais l'autre (Mon choix perso) a une approche plus pédagogique. On va de la classe ou tout va bien marcher à savoir bien défini et inversion à la classe L2 où tout est à faire. Ensuite pour chaque classe de fonctions, j'intègre l'application à la théorie du signal et la formule de Poisson. Pour Shannon, le rapport demande explicitement l'interprétation L2 que vous trouvez dans le El Amrani. Il faut absolument Mettre le petit principe d'incertitude. Cela montre que l'on a compris les limites de la théorie.

Enfin, on termine par un dernier cadre, celui des probas qui donne encore une application puisque la fonction caractéristique n'est rien d'autre qu'une transformée de Fourier et qu'elle caractérise la loi !!

Références qui ne sont pas sur agrag-maths :

Antoine Chambert-Loir : Théorie du signal
Laurent Schwartz : Analyse tome 4


Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples

Plan hyper classique ; beaucoup de similitudes avec les intégrales à paramètres en rajoutant simplement la convergence uniforme.

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Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

Si je devais réécrire ce plan, je rajouterai une sous partie Intégration dans la partie régularité avec les théorèmes de Fubini. Et j'enlèverai la partie sur l'intégrale de Fourier. Pour ce qui est convolution et ransformée de Fourier, il suffit de faire un copier collé de ce que j'ai dans la 250. Les références sont donc changées aussi avec donc le Laurent Schwartz analyse 4 pour la convolution.
Je suis passé dessus pendant l'année plan validé modulo les deux changements que j'ai donné au début.

Ref qui ne sont pas sur agreg-maths :

SCH IV : Laurent Schwartz analyse 4.
Oraux X-ENS tome 5(nouvelle édition). (Pour le développement 1)

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Problèmes d’interversion de symboles en analyse.

Je suis passé dessus pendant l'année. D'abord, j'enlèverai la toute dernière partie sur l'intégration terme à terme qui n'est rien d'autre qu'une redite des théorèmes de Fubini. Ensuite il faut rajouter des exemples.

Pour la présentation du plan, il faut bien se souvenir qu'une interversion en analyse fait intervenir un passage à la limite et c'est ça qui est "difficile". Pour ceux que ça intéresse j'avais commencé par citer l'erreur de Cauchy dans son cours de 1821 pour motiver le fait qu'il y a une vraie difficulté dans l'interversion de symbole.

Sinon toute la première partie se trouve dans le El Amrani et après vous avez le Faraut.

Ma référence pour les théorèmes de Fubini (Je trouve que c'est là qu'ils sont le mieux écrits): Laurent Schwartz analyse tome 3 (à la place du Garet Kurtzman donc)

Pour mon deuxième dev. la ref c'est finalement 131 devs.

Ref qui n'est pas sur agreg-maths :
Oraux X-ens Tome 5 (Nouvelle édition)

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Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Plan que j'ai fait au tout début de l'année et sur lequel je suis passé. Il y pas mal de choses à reprendre mais ça peut donner une idée de la trame générale. Je ne changerai pas mon méta-plan en revanche ça manque cruellement d'exemples. Je reprendrai complètement la fin sur le transformée de Fourier en incluant des parties de ma 250.

Pour les reférences je commence avec le Herbin pour la construction de l'intégrale, ensuite le Faraut pour TCVD et th. de Fatou ainsi que pour les th. fondamentaux et ensuite le Ouv. 2 pour mon dev1. Pour la partie sur la convolution je copie colle celle qui est dans ma 250 que je trouve dans le SCH IV. et enfin le Dym pour la transformée de Fourier.

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Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

Beaucoup de gens n'aiment pas cette leçon. Perso j'aime bien les dev. asymptotique. Si vous êtes comme moi friand de théorie analytique des nombres, vous pouvez vous éclater !!
La partie théorie analytique des nombres n'est pas du tout obligatoire et si vous n'en avez pas fait avant l'année d'agrégation ça me semble très difficile de s'y mettre. Une leçon d'exemples c'est toujours difficile parce que vous devez savoir démontrer tout ce qu'il y a dans votre plan. Cependant J'ai fait cette leçon en regroupant les exemples par thèmes et techniques ce qui fait que on retrouve bien la preuve des exemples.

Mon dev. 2 n'est pas encadré : je faisais le dev. Asymptotique de l'indicatrice d'Euler donc l'exemple 31.

Bonne chance aux algébristes :)

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