Leçon 250 : Transformation de Fourier. Applications.

(2022) 250
(2024) 250

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 250 - Transformation de Fourier. Applications.) Cette leçon est consacrée à l'analyse de Fourier sur la droite réelle. Au niveau de l'agrégation, elle peut être abordée dans trois cadres : $L^1$, classe de Schwartz des fonction $C^\infty$ à décroissance rapide, ou $L^2$. Les deux derniers points de vue sont les plus satisfaisants du point de vue de la symétrie obtenue, le dernier étant le plus délicat. Cette leçon exige donc une préparation soigneuse. Les candidats ne manqueront pas d'illustrer leur leçon par quelques applications significatives : formule sommatoire de Poisson et ses applications, résolution d'équations aux dérivées partielles, etc. Bien entendu, les fonctions caractéristiques et leurs applications en probabilités ont toute leur place dans cette leçon. Le fait que les polynômes constituent une base hilbertienne de l'espace des fonctions de carré intégrable relativement à certains poids est présenté quasi systématiquement en développement. Peut-être faudrait-il songer à trouver d'autres sources d'inspiration, d'autant que la preuve n'est pas toujours parfaitement comprise, et que de nombreux candidats sont incapables d'en déduire une base hilbertienne de $L^2(R)$. De nombreux candidats proposent comme développement le théorème d'échantillonage de Shannon, ce qui est pertinent, à condition d'avoir bien compris qu'il traduit une isométrie entre deux espaces de Hilbert. Les candidats solides pourront s'intéresser aux vecteurs propres de la transformée de Fourier sur $L^2(R)$, à la non-dérivabilité de la fonction de Weierstrass dans le cas le plus général, à l'algèbre de convolution $L^1(R)$, au théorème de Paley-Wiener qui caractérise les fonctions de $L^2(R)$ dont la transformée de Fourier est à support compact, aux principes d'incertitude, etc.

(2019 : 250 - Transformation de Fourier. Applications.) Cette leçon offre de multiples facettes. Les candidats peuvent adopter différents points de vue : $L^1$, $L^2$ et/ou distributions. L’aspect « séries de Fourier» n’est toutefois pas dans l’esprit de cette leçon ; il ne s’agit pas de faire de l’analyse de Fourier sur n’importe quel groupe localement compact mais sur $\textbf{R}$ ou $\textbf{R}^d$. $\\$ La leçon nécessite une bonne maîtrise de questions de base telles que la définition du produit de convolution de deux fonctions de $L^1$. On ne doit pas se limiter à une analyse algébrique de la transformation de Fourier. C’est bien une leçon d’analyse, qui nécessite une étude soigneuse des hypothèses, des définitions et de la nature des objets manipulés. Le lien entre la régularité de la fonction et la décroissance de sa transformée de Fourier doit être fait, même sous des hypothèses qui ne sont pas minimales. Les candidats doivent savoir démontrer le lemme de Riemann-Lebesgue pour une fonction intégrable. $\\$ La formule d’inversion de Fourier pour une fonction $L^1$ dont la transformée de Fourier est aussi $L^1$ est attendue ainsi que l’extension de la transformée de Fourier à l’espace $L^2$ par Fourier-Plancherel. Des exemples explicites de calculs de transformations de Fourier classiques comme la gaussienne ou $(1+x^2)^{-1}$ paraissent nécessaires. $\\$ Pour aller plus loin, la transformation de Fourier des distributions tempérées ainsi que la convolution dans le cadre des distributions tempérées peuvent être abordées. Les attentes du jury sur ces questions restent modestes, au niveau de ce qu’un cours de première année de master sur le sujet peut contenir. Le fait que la transformée de Fourier envoie $S(\textbf{R}^d)$ dans lui même avec de bonnes estimations des semi-normes doit alors être compris et la formule d’inversion de Fourier maîtrisée dans ce cadre. Des exemples de calcul de transformée de Fourier peuvent être donnés dans des contextes liés à la théorie des distributions comme par exemple la transformée de Fourier de la valeur principale de $\frac{1}{x}$. Dans un autre registre, il est aussi possible d’orienter la leçon vers l’étude de propriétés des fonctions caractéristiques de variables aléatoires. $\\$ La résolution de certaines équations aux dérivées partielles telles que, par exemple, l’équation de la chaleur sur $\textbf{R}$, peut être abordée, avec une discussion sur les propriétés qualitatives des solutions.
(2017 : 250 - Transformation de Fourier. Applications.) Cette leçon offre de multiples facettes. Les candidats peuvent adopter différents points de vue : $L^1$, $L^2$ et/ou distributions. L’aspect « séries de Fourier» n’est toutefois pas dans l’esprit de cette leçon ; il ne s’agit pas de faire de l’analyse de Fourier sur n’importe quel groupe localement compact mais sur $R$ ou $R^d$. La leçon nécessite une bonne maîtrise de questions de base telle que la définition du produit de convolution de deux fonctions de $L^1$. En ce qui concerne la transformation de Fourier, elle ne doit pas se limiter à une analyse algébrique de la transformation de Fourier. C’est bien une leçon d’analyse, qui nécessite une étude soigneuse des hypothèses, des définitions et de la nature des objets manipulés. Le lien entre la régularité de la fonction et la décroissance de sa transformée de Fourier doit être fait, même sous des hypothèses qui ne sont pas minimales. Les candidats doivent savoir montrer le lemme de Riemann-Lebesgue pour une fonction intégrable. La formule d’inversion de Fourier pour une fonction $L^1$ dont la transformée de Fourier est aussi $L^1$ est attendue ainsi que l’extension de la transformée de Fourier à l’espace $L^2$ par Fourier-Plancherel. Des exemples explicites de calcul de transformations de Fourier, classiques comme la gaussienne ou $(1+x^2)^{-1}$, paraissent nécessaires. Pour aller plus loin, la transformation de Fourier des distributions tempérées ainsi que la convolution dans le cadre des distributions tempérées peuvent être abordées. Rappelons une fois de plus que les attentes du jury sur ces questions restent modestes, au niveau de ce qu’un cours de première année de master sur le sujet peut contenir. Le fait que la transformée de Fourier envoie $S(R^d)$ dans lui même avec de bonnes estimations des semi-normes doit alors être compris et la formule d’inversion de Fourier maîtrisée dans ce cadre. Des exemples de calcul de transformée de Fourier peuvent être données dans des contextes liés à la théorie des distributions comme par exemple la transformée de Fourier de la valeur principale. La résolution de certaines équations aux dérivées partielles telle que, par exemple, l’équation de la chaleur sur R, peut être abordée, avec une discussion sur les propriétés qualitatives des solutions. Dans un autre registre, il est aussi possible d’orienter la leçon vers l’étude de propriétés de fonctions caractéristiques de variables aléatoires.
(2016 : 240 - Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications. ) Cette leçon, fusionnée avec la 254, est remplacée par la 250 dont voici le rapport. Cette leçon, reformulée pour la session 2017, offre de multiples facettes. Les candidats peuvent adopter différents points de vue : $L^1$, $L^2$ et/ou distributions. L’aspect “séries de Fourier” n’est toutefois pas dans l’esprit de cette leçon ; précisons aussi qu’il ne s’agit pas de faire de l’analyse de Fourier sur n’importe quel groupe localement compact mais bien sur $R$ ou $R^d$ . La leçon nécessite une bonne maîtrise de questions de base telle que la définition du produit de convolution de deux fonctions de $L^1$ . En ce qui concerne la transformation de Fourier, elle ne doit pas se limiter à une analyse algébrique de la transformation de Fourier. C’est bien une leçon d’analyse, qui nécessite une étude soigneuse des hypothèses, des définitions et de la nature des objets manipulés. Le lien entre la régularité de la fonction et la décroissance de sa transformée de Fourier doit être fait, même sous des hypothèses qui ne sont pas minimales. La formule d’inversion de Fourier pour une fonction $L^1$ dont la transformée de Fourier est aussi $L^1$ sont attendues ainsi que l’extension de la transformée de Fourier à l’espace $L^2$ par Fourier-Plancherel. Des exemples explicites de calcul de transformations de Fourier, classiques comme la gaussienne ou $(1+x^2)^{-1}$ , paraissent nécessaires. Pour aller plus loin, la transformation de Fourier des distributions tempérées ainsi que la convolution dans le cadre des distributions tempérées peuvent être abordées. Rappelons une fois de plus que les attentes du jury sur ces questions restent modestes, au niveau de ce qu’un cours de première année de master sur le sujet peut contenir. Le fait que la transformée de Fourier envoie $S(R^d)$ dans lui même avec de bonnes estimations des semi-normes doit alors être compris et la formule d’inversion de Fourier maîtrisée dans ce cadre. Des exemples de calcul de transformée de Fourier peuvent être données dans des contextes liés à la théorie des distributions comme par exemple la transformée de Fourier de la valeur principale. La résolution de certaines équations aux dérivées partielles telle que, par exemple, l’équation de la chaleur, peut être abordée, avec une discussion sur les propriétés qualitatives des solutions.
(2015 : 240 - Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications.) Cette leçon nécessite une bonne maîtrise de questions de base telle que la définition du produit de convolution de deux fonctions de $L^1$. En ce qui concerne la transformation de Fourier, elle ne doit pas se limiter à une analyse algébrique de la transformation de Fourier. C'est bien une leçon d'analyse, qui nécessite une étude soigneuse des hypothèses, des définitions et de la nature des objets manipulés. Le lien entre la régularité de la fonction et la décroissance de sa transformée de Fourier doit être fait, même sous des hypothèses qui ne sont pas minimales. La formule d'inversion de Fourier pour une fonction $L^1$ dont la transformée de Fourier est aussi $L^1$ ainsi que les inégalités de Young sont attendues ainsi que l'extension de la transformée de Fourier à l'espace $L^2$ par Fourier-Plancherel. Des exemples explicites de calcul de transformations de Fourier paraissent nécessaires. Les candidats solides peuvent aborder ici la résolution de l'équation de la chaleur, de Schrödinger pour des fonctions assez régulières, ou la détermination des solutions élémentaires du Laplacien ou de l'opérateur $k^2 - \frac{ d^2}{dx^2}$. La transformation de Fourier des distributions tempérées ainsi que la convolution dans le cadre des distributions tempérées trouvent leur place ici mais sont réservées aux candidats aguerris. On peut aussi considérer l'extension de la transformée de Fourier à la variable complexe, riche d'applications par exemple dans la direction du théorème de Paley-Wiener.
(2014 : 240 - Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications.) Cette leçon ne doit pas se limiter à une analyse algébrique de la transformation de Fourier. C'est bien une leçon d'analyse, qui nécessite une étude soigneuse des hypothèses, des définitions et de la nature des objets manipulés. Le lien régularité de la fonction et décroissance de sa transformé de Fourier doit être fait même sous des hypothèses qui ne sont pas minimales. La formule d'inversion de Fourier pour une fonction $L^1$ dont la transformée de Fourier est aussi $L^1$ ainsi que les inégalités de Young sont attendues ainsi que l'extension de la transformée de Fourier à l'espace $L^2$ par Fourier-Plancherel. Des exemples explicites de calcul de transformations de Fourier paraissent nécessaires. Les candidats solides peuvent aborder ici la résolution de l'équation de la chaleur, de Schrödinger pour des fonctions assez régulières, ou plus délicats la détermination des solutions élémentaires du Laplacien ou de l'opérateur $k^2 - \frac{d^2}{dx^2}$ . La transformation de Fourier des distributions tempérées ainsi que la convolution dans le cadre des distributions tempérées trouve sa place ici mais est réservé aux candidats aguerris. On peut aussi considérer l'extension de la transformée de Fourier à la variable complexe, riche d'applications par exemple dans la direction du théorème de Paley-Wiener.

Développements :

Plans/remarques :

2023 : Leçon 250 - Transformation de Fourier. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 250 - Transformation de Fourier. Applications.


2020 : Leçon 250 - Transformation de Fourier. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 250 - Transformation de Fourier. Applications.


2018 : Leçon 250 - Transformation de Fourier. Applications.


2017 : Leçon 250 - Transformation de Fourier. Applications.


2016 : Leçon 240 - Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications.


Retours d'oraux :

2023 : Leçon 250 - Transformation de Fourier. Applications.

  • Leçon choisie :

    250 : Transformation de Fourier. Applications.

  • Autre leçon :

    223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Méthode de la phase stationnaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Défense de plan : rien de spécial. Au début de mes 6 minutes j'ai écris au tableau : "dérivation <-> multiplication ; convolution <-> multiplication", en expliquant que la TF permet de transformer un problème de dérivation en problème de multiplication via la convolution, ce qui justifie son étude et motive la volonté de reconstruire f à partir de hat{f}. Ils ont apprécié (je crois).

    Contenu du plan : relativement classique, j'ai fait L1, Schwartz, L2, puis une partie "résolution d'EDP" contenant des résolutions explicites (type chaleur par exemple) et la méthode des différences finies (option B, attention c'est une TF discrète donc içi).

    Développement : Je suis allé trop vite donc j'ai brodé autour et j'ai au final fais 14 minutes. Ils ne m'en n'ont pas tenu rigueur. Je me contentais du cas simple (avec x^2) et 1D. J'ai tout de même expliqué comment passer au cas général comment généraliser en multi-D.

    Question sur le développement :
    - détailler la formule intégrale de Taylor.
    - question sur la détermination principale de la racine carrée, que se
    passe-t-il si on en prend une autre. même question pour la TF de la
    gaussienne. (il y a un changement de phase).
    - Que se passe-t-il si on suppose a intégrable et non C infini (notations du QueZui). (tout se passe bien par densité).

    Question sur le plan :
    - Comment calculer la TF de la gaussienne.
    - Définition de la décroissance rapide.
    - Preuve de si f et ˆf sont simultanément à support compact, alors f = 0.
    - Détail sur la convolution et les probabilités.
    - Pourquoi la TF est injective.
    - Détail sur l'application du développement à la fonction d'Airy.

    Exercices :
    - Trouver les $f \in \L^1$ telles que $f \star f = f$.
    - Soit $A >0$. On pose $E = \{ f \in L^\infty \cap L^1 \cap \mathcal{C}^\infty, \quad \mathrm{Supp} (\hat{f}) \subset B(0,A) \}$. Montrer que la dérivation de $E$ dans $E$ définit une opération continue.
    - Pour finir : calcul de $\chi_{[-1,1]} \star \chi_{[-1,1]}$.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très agréable, ils m'ont directement mis à l'aise. Ils semblaient en revanche totalement désintéressé lors du développement. Ils se partageaient bien la parole.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    18.75


2022 : Leçon 250 - Transformation de Fourier. Applications.

  • Leçon choisie :

    250 : Transformation de Fourier. Applications.

  • Autre leçon :

    Pas de réponse fournie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Fourier-Plancherel (via les espaces de Schwarz)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Comme dit par d'autres il faut être 100% au taquet sur ce qu'on met dans son plan car le jury pose des questions sur tout. Après être revenus sur des imprécisions de mon développement, ils m'ont demandé les grandes lignes de la démo que j'aurais faite pour mon 2ème développement. Pourquoi les gaussiennes sont des vecteurs propres pour la transf de Fourier. Un peu de Shannon car j'en avais parlé dans mon plan
    NB : 4 membres du jury pour la leçon agrég spécial docteurs

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très sympathique et aidant. 3 sur les 4 posaient pas mal de questions et donnaient des pistes si je bloquais

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Il faut être bien à l'heure de la convocation car la prép commence environ 3h20 avant le passage, on a donc eu réellement les 3h de préparation contrairement à ce qui s'était peut-être passé d'autres années. Bien connaître les livres qu'on utilise car en soi chercher dans la biblio de l'agrég ne sert à rien si on ne sait pas quel livre va nous fournir l'info (j'avais un trou sur un morceau de démonstration et sans le livre que je voulais c'était compliqué de retrouver dans un autre. Malgré tout j'ai eu le temps de bien écrire mon plan et revoir les principales démos durant la préparation, puis penser à mon intro et me concentrer pendant qu'ils font les photocopies. Au total j'ai apprécié l'expérience

  • Note obtenue :

    12.25


2019 : Leçon 250 - Transformation de Fourier. Applications.

  • Leçon choisie :

    250 : Transformation de Fourier. Applications.

  • Autre leçon :

    241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Formule sommatoire de Poisson

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Un échange (très) détaillé sera disponible sur mon site internet : www.coquillagesetpoincare.fr

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Une petite erreur qui aurait pu être évité sur le développement ... Mais surtout deux gros points négatifs sur l’espace de Schwartz et la convolution. De plus il est écrit dans le rapport du jury :La leçon nécessite une bonne maîtrise de questions de base telle que la définition du produit de convolution de deux fonctions de L1. Quelques petites erreurs d’étourderies car je voulais répondre vite ... mais je me corrigeais rapidement.J’ai trouvé le jury plutôt "fermé" et pas vraiment sympathique, et dont un qui était très rabaissant ... On n’est pas là pour se faire des amis, mais quand même ...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui

  • Note obtenue :

    14.25


2018 : Leçon 250 - Transformation de Fourier. Applications.

  • Leçon choisie :

    250 : Transformation de Fourier. Applications.

  • Autre leçon :

    208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Fourier-Plancherel

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions sur la théorie de la mesure suite à mon développement et de justifications concernant l'appartenance de certaine fonctions à certains espaces.

    On m'a demandé d'énoncé le théorème de Fubini.

    Puis le probabiliste du jury s'est réveillé pour me poser des questions concernant les transformées de Fourier des lois de probabilités, puis il s'est rendormi.

    On m'a aussi demander si je pouvais donner une méthode de calcul pour la transformée de la fonction x--> (1+x^4)^{-1}. J'ai énoncé la méthode des résidus, mais ils ne m'ont pas demandé de faire le calcul par manque de temps.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury a été plutôt sympathique avec moi venant (trop ?) souvent à mon aide.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Surpris d'avoir un spectateur à cet oral, je ne m'y attendais pas. Aussi surpris d'avoir réussi à apprendre un développement en peu de temps et avoir pu le restituer (plus ou moins bien) lors de l'épreuve. (Heureusement que je connaissais mon deuxième développement sur le bout des doigts.)

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani (utilisée dans 50 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 131 versions au total)
Calcul Intégral , Faraut (utilisée dans 18 versions au total)
Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch (utilisée dans 19 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 167 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 222 versions au total)
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li (utilisée dans 45 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 415 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 125 versions au total)
Théorie des distributions , Bony (utilisée dans 8 versions au total)
Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 59 versions au total)
Elements de distributions et d'équations aux dérivées partielles , Zuily (utilisée dans 9 versions au total)
Analyse harmonique réelle , Willem (utilisée dans 7 versions au total)
Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès (utilisée dans 80 versions au total)
Probabilités, Barbe-Ledoux (utilisée dans 23 versions au total)
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 41 versions au total)
Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral, Dreveton, Maximilien & Lhabouz, Joachim (utilisée dans 20 versions au total)
Probabilités pour les non-probabilistes, Walter Appel (utilisée dans 19 versions au total)