Développement : Théorème de Lévy et TCL

Détails/Enoncé :

Équivalence entre la convergence en loi d'une suite de v.a. vers $X$ et la convergence simple de la suite de leurs fonction caractéristique vers celle de $X$. Application au TCL.

Vous n'êtes pas d'accord avec les recasages ci-dessous ? Connectez-vous pour proposer les vôtres !

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

Version de Corentin

Auteur :
Corentin
Référence :
- Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
Fichier :
- Théorème de Lévy.pdf

Version de Owen

Auteur :
Owen
Remarque :
Il y a un argument super douteux dans le ZQ, qui fait appel a une forme sophistiquée de Stone Weierstrass. Je l'ai remplacé par un argument classe de Schwartz, bien plus simple à justifier.
Référence :
- Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
Fichier :
- Théorème de Lévy + TCL (250,261,262,266).pdf

Version de Titi le mathématicien

Auteur :
Titi le mathématicien
Remarque :
https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine/
Fichier :
- Théorème de Lévy et application au TCL.pdf

Version de Burel

Auteur :
Burel
Références :
- Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- Lévy.pdf

Version de RMaurice

Auteur :
RMaurice
Remarque :
Si ma version peut aider des gens, avec plaisir !
Référence sur le document.
Attention aux éventuels coquilles.
Fichier :
- Dév Théorème de Lévy et TCL.pdf

Version de WOLFF

Auteur :
WOLFF
Remarque :
Mon document est très long mais c'est parce que je donne beaucoup de détails, des conseils et je démontre des résultats utilisés dans la démonstration à la fin.
Dans cette version, je ne parachute pas la fonction qui permet de montrer qu'il suffit de tester la convergence sur les fonctions continues qui tendent vers 0 à l'infini, mais j'essaie de motiver sa construction pour que vous arriviez mieux à retenir le développement.
On démontre aussi le TCL en utilisant le logarithme complexe.
Je ne suis pas vraiment d'accord avec les recasages, pour moi il y en a plus. J'ai mis mes recasages au début du document.
Pour la référence, le titre du Queffelec/Zuily que j'ai utilisé est "agrégation de mathématiques, éléments d'analyse".
Références :
Fichier :
- Théorème de Paul Lévy.pdf

Version de tchen

Auteur :
tchen
Remarque :
Je fais un petit lemme + Paul Levy + TCL. Attention à bien mettre les items préliminaires dans le plan !

Je le prends pour 261 et 262.
Référence :
- Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
Fichier :
- PaulLevy_TCL.pdf

Version de Carpentier Axel

Auteur :
Carpentier Axel
Remarque :
A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.

Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com
Référence :
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- levy + TCL Axel.pdf

Version de Matthieu C.

Auteur :
Matthieu C.
Remarque :
Garet Kurtzman pour le théorème de Lévy et Chabanol pour le TCL. Je fais un peu l'anguille à la fin de la preuve pour éviter de parler de log complexe.

Mon avis sur les recasages:
Loi d'une variable aléatoire, convergence d'une suite de variables aléatoires, et ça me semble très acceptable dans transformation de Fourier.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
Références :
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
- Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch
Fichier :
- théorème_de_Lévy.pdf

Version de Alice M

Auteur :
Alice M
Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)
Références :
- Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
Fichier :
- Théorème de Lévy et TCL.pdf

Version de Jeanclaudedu77

Auteur :
Jeanclaudedu77
Remarque :
Il parait que c'est important en probas.
Référence :
- Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
Fichier :
- Lévy et TCL.pdf

Version de Julos

Auteur :
Julos
Remarque :
Je trouve qu'avec le lemme c'est trop long.

Version de Ennio S

Auteur :
Ennio S
Remarque :
Je détaille (vraiment) tout.
Fichier :
- Theoreme de LEVY.pdf

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 233 versions au total)
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 118 versions au total)
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li (utilisée dans 78 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 166 versions au total)
Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch (utilisée dans 66 versions au total)