De l'intégration aux probabilités

Garet, Kurtzman

Utilisée dans les 22 développements suivants :

Théorème de Weierstrass (par les probabilités)
Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
Théorème central limite
Formule de Stirling (par le théorème central limite)
Fonctions caractéristiques de la loi normale et de Cauchy
Inégalité de Le Cam
Statistiques du nombre de cycles d'une permutation aléatoire
Loi forte des grands nombres L^2
Théorèmes de Cochran et de Fisher
Théorème de Lévy et TCL
Convergence de lois binomiales vers une loi de Poisson
Étude relative à la fonction Zeta
Marche aléatoire simple sur Z
Fonction zeta et nombres premiers
Marches aléatoires sur Z
Inégalités de Young, Holder, Minkowsky et calcul de norme de l'injection de L1 dans Lp
Cochran, Fischer et application test chi-deux
Paul-Lévy, TCL et applications
Le théorème de Féjer
Fonction caractéristique caractérise la loi + Théorème de Lévy
Convergence d'une suite de Variable Aléatoire
Étude d'une suite de variables aléatoires suivants des lois de Poisson

Utilisée dans les 25 leçons suivantes :

260 (2019) Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire.
201 (2025) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
239 (2025) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
253 (2025) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
261 (2025) Loi d’une variable aléatoire: caractérisations, exemples, applications.
262 (2025) Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.
264 (2025) Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
266 (2025) Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.
250 (2025) Transformation de Fourier. Applications.
229 (2025) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
190 (2025) Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
121 (2025) Nombres premiers. Applications.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
218 (2025) Formules de Taylor. Exemples et applications.
234 (2025) Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
236 (2025) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
241 (2025) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
243 (2025) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
205 (2025) Espaces complets. Exemples et applications.
208 (2025) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
224 (2025) Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
245 (2025) Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications
213 (2025) Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
209 (2025) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.

Utilisée dans les 36 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Développement original qui permet de justifier la convergence en loi de $\mathcal{B}\left(n,\frac{\lambda}{n}\right)$ vers $\mathcal{P}(\lambda)$ avec une borne de l'erreur. L'inconvénient c'est qu'il faut apprendre la loi du couplage par cœur.

    Le Garet Kurtzman n'a pas exactement la même rédaction. Pour faire court, le livre part des lois marginales au lieu de partir de la loi du couple. Mais j'avoue ne pas avoir vérifié que la méthode de bakouche (que je me suis permis de réécrire ici) rebouclait bien avec ce qui est écrit dans ce livre.
    (pp 214, 450)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement original que j'ai fabriqué en regroupant deux exercices du Kurtzman. Je justifie les recasages par :
    Suites numériques : On utilise les lim sup des suites pour déterminer un ensemble de valeurs d'adhérences.
    Séries numériques : On utilise à plusieurs reprises Borel Cantelli
    Et en proba :
    Loi : On travaille autour de la loi de Poisson
    Convergence : Tout le dév porte sur la convergence de suites de variables aléatoires. On illustre l'importance de Borel Cantelli pour déterminer des convergences presques sûres.
    Variables aléatoires discrètes : On n'étudie que des variables aléatoires discrètes
    Indépendance : On utilise à plusieurs reprises le second lemme de Borel Cantelli, qui nécessite l'indépendance.

    Je recommande ce développement rigolo :)
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 82 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    J'ai pas encore eu le temps de taper le plan en LateX, toutes mes excuses si c'est pas très lisible.

    J'aime bien cette leçon car la partie dans L1 est incontournable et l'application en probas est sympa. Par contre pour la partie ça se corse un peu. Je parle de Schwartz parce que c'est un cadre agéable pour faire de la transformée de Fourier et le cadre L2 est je pense incontournable aussi. Cependant, il faut vraiment être au point sur le passage de L1 à L2. Je trouve que le El Amrani n'est pas très bien fait sur cette partie.

    Je suis tombé dessus en oral blanc. Voici quelques questions/exos:
    - Est-ce qu'il existe des fonctions dans L1 dont la transformée de Fourier n'est pas dans L1 ?
    - Est-ce que ce sinus cardinal peut être la transformée de Fourier d’une fonction dans L2 ?
    - On définit la transformée de Fourier dans l’espace de Schwartz que l’on peut étendre à L1 inter L2 sur lequel est également définit une transformée de Fourier. Comment s’assurer qu’elles coïncident sur Schwartz ?
    - Si on prend f à support compact telle que sa transformée soit aussi à support compact. Que dire de f ?
    - Soit X,Y des variables aléatoires indépendantes de même loi telle que leur somme suit une loi normale. Montrer qu’elles suivent une loi normale.

    J'utilise le El Amrani pour la 1ère partie et le II.1, le Li pour le II.2 et le Garet-Kurtzmann pour les probas.
  • Références :
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