Référence : De l'intégration aux probabilités

Théorèmes de Cochran et de Fisher

Développement :
Théorèmes de Cochran et de Fisher
Références :
- Statistique mathématique en action, Rivoirard, Stoltz
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- cochran_fisher.pdf

Inégalité de Le Cam

Développement :
Inégalité de Le Cam
Remarque :
La seule difficulté est finalement de retenir le couplage de la loi de poisson avec la binomiale.
Référence :
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- Innegalite_de_LE_CAM.pdf

Formule de Stirling (par le théorème central limite)

Développement :
Formule de Stirling (par le théorème central limite)
Remarque :
C'est un exercice (corrigé) tiré du Garet-Kurtzman, dans le chapitre sur le TCL.
Référence :
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- stirling.pdf

Fonctions caractéristiques de la loi normale et de Cauchy

Développement :
Fonctions caractéristiques de la loi normale et de Cauchy
Référence :
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- Fonction caractéristique normal cauchy.pdf

Loi forte des grands nombres L^2

Développement :
Loi forte des grands nombres L^2
Remarque :
Attention, il y a une erreur dans le Garet-Kurtzman lorsqu'ils énoncent les propriétés sur $p(n)$.
Référence :
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- LGN.pdf

Inégalité de Le Cam

Développement :
Inégalité de Le Cam
Remarque :
Développement original qui permet de justifier la convergence en loi de $\mathcal{B}\left(n,\frac{\lambda}{n}\right)$ vers $\mathcal{P}(\lambda)$ avec une borne de l'erreur. L'inconvénient c'est qu'il faut apprendre la loi du couplage par cœur.

Le Garet Kurtzman n'a pas exactement la même rédaction. Pour faire court, le livre part des lois marginales au lieu de partir de la loi du couple. Mais j'avoue ne pas avoir vérifié que la méthode de bakouche (que je me suis permis de réécrire ici) rebouclait bien avec ce qui est écrit dans ce livre.
(pp 214, 450)
Référence :
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- Inégalité de Le Cam.pdf

Étude relative à la fonction Zeta

Développement :
Étude relative à la fonction Zeta
Remarque :
Leçons 121, 230, 264, 265, 266.
Référence :
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- Dev 15 - Étude relative à la fonction zeta et aux nombres premiers par les probabilités.pdf

Fonctions caractéristiques de la loi normale et de Cauchy

Développement :
Fonctions caractéristiques de la loi normale et de Cauchy
Remarque :
Leçons 236, 239, 245, 250, 261, 267.

Deux méthodes pour chacune des fonctions caractéristiques, on sélectionnera en fonction de la leçon dans laquelle on la recase.
Référence :
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- Dev 3 - Fonctions caractéristiques de la loi normale et la loi de Cauchy .pdf

Étude relative à la fonction Zeta

Développement :
Étude relative à la fonction Zeta
Remarque :
Avec application : il n'existe pas de mesure de probabilité "uniforme" sur l'ensemble des entiers naturels.
Référence :
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman

Théorème central limite

Développement :
Théorème central limite
Remarque :
Attention aux prérequis, dans cette version le théorème de Lévy et la régularité de la fonction caractéristique ne sont pas démontré.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
Références :
- Probabilités pour les non-probabilistes, Walter Appel
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- PM4TAgreg_TCL.pdf

Cochran, Fischer et application test chi-deux

Développement :
Cochran, Fischer et application test chi-deux
Remarque :
Recasages choisis : 261, 262, 264, 266 (j'ai mis la 264 pour l'application, mais pas hyper sûre de ce recasage)
Références :
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
- Statistique mathématique en action, Rivoirard, Stoltz
Fichier :
- ThmCochran.pdf

Paul-Lévy, TCL et applications

Développement :
Paul-Lévy, TCL et applications
Remarque :
Recasages choisis : 250, 261, 262, 265, 266.

Je fais la preuve de Paul-Lévy, le TCL et deux applications, en fonction de la leçon je choisis quels résultats je démontre
Références :
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
- Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
Fichier :
- PaulLévyTCL.pdf

Étude relative à la fonction Zeta

Développement :
Étude relative à la fonction Zeta
Remarque :
Recasages: 121, 265, 266

Garet-Kurtzmann p56+461 (on trouvera également cet exercice dans le Rombaldi p345, mais rédigé différemment)

Application à le divergence de la série des inverses des premiers.

Je recommande vivement d'écrire au tableau le découpage en questions au début de la présentation: cela rend la preuve transparente, et ça donne un point d'appui si on se perd durant le développement. Ce n'est pas un temps perdu, dirai-je même c'est du temps gagné: il faut les écrire à un moment ou à un autre durant la présentation, plutôt que de le faire au fur et à mesure autant le faire dès le début.

Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
Références :
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- Produit eulérien zeta et série inverse premiers.pdf

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Développement :
Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
Référence :
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- Riesz-Fisher.pdf

Statistiques du nombre de cycles d'une permutation aléatoire

Développement :
Statistiques du nombre de cycles d'une permutation aléatoire
Remarque :
Une version sympa trouvée dans le Gourdon et sur Mathstackexchange pour la partie sur les points fixes. Développement très fun !
Édit : j'ai rajouté un théorème limite central sur le nombre de cycles, un résultat que j'ai trouvé dans le Garet, Kurtzmann et que j'ai montré à la main plutôt qu'avec le théorème limite central de Lindeberg, à noter pour la leçon 262 !
Références :
- Algèbre et probabilités, Gourdon
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- Permutations aléatoires.pdf

260 : Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire.

Leçon :
Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire.
Références :
Fichier :
- 260.pdf

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces de fonctions. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- Le_on_201___Espaces_de_fonctions__Exemples_et_applications_.pdf

202 : Exemples de parties denses et applications.

239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Leçon :
Utilisation de la notion de convexité en analyse.
Références :
Fichier :
- 253.pdf

261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

Leçon :
Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.
Références :
- Probabilités pour les non-probabilistes, Walter Appel
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- Lecon_261 - Loi d'une variable aléatoire ; caractérisations, exemples, applications..pdf

262 : Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

266 : Illustration de la notion d’indépendance en probabilités.

Leçon :
Illustration de la notion d’indépendance en probabilités.
Références :
- Probabilités pour les non-probabilistes, Walter Appel
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- Lecon_266 - Illustration de la notion d'indépendance en probabilités. .pdf

250 : Transformation de Fourier. Applications.

239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

Leçon :
Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.
Référence :
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- 261.pdf

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 229.pdf

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Leçon :
Utilisation de la notion de convexité en analyse.
Références :
Fichier :
- 253.pdf

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Remarque :
Leçon qui peut faire peur au premier abord car il est rare d'avoir eu un cours sur cette thématique.
Finalement, elle est super cool à faire et change beaucoup des autres leçons :))

Mon plan contient beaucoup de résultats (63) mais c'est surtout la première partie qui est longue (24) et peut-être qu'il n'est pas nécessaire de rappeler certaines définitions en théorie des groupes.

Mes développements sont : "Nombre de Bell" et "Loi de réciprocité quadratique" qui rentrent impec dedans ;)

Il y a beaucoup de références mais elles ont déjà toutes été utilisées dans d'autres leçons donc bon…

On peut remplacer le Isenmann par le Caldero bien entendu…
Références :
Fichier :
- 190 Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement. .pdf

264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Leçon :
Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
Remarque :
Leçon qui vaut le détour d'être faite car elle n'est pas si compliquée même pour ceux qui ne font pas proba-stats, je pense…

Mes développements sont : Borel-Cantelli+2 applis et le TCL+une appli (en admettant Lévy).

Je prends le risque de définir la convergence en loi dans le cas général et non pas dans le cas discret. Il est important de connaitre la caractérisation en discret du coup…

Mes références restent des classiques en probas donc ce plan n'est pas forcément original.

A noter : les exercices du Barbe-Ledoux sont corrigés dans "Probabilités exos corrigés" de Hervé Carrieu.
Références :
Fichier :
- 264 Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications..pdf

121 : Nombres premiers. Applications.

Leçon :
Nombres premiers. Applications.
Remarque :
Ma partie d'applications est très longue parce qu'elle explore de nombreux sujets. En pratique, il vaut mieux mettre 2 ou 3 paragraphes.
Références :
Fichier :
- 121.pdf

262 : Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

Leçon :
Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.
Remarque :
Plan un peu court, manque cruellement d'exemples (et contre-exemples).
Références :
- Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- 262.pdf

264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Leçon :
Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
Références :
- Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- 264.pdf

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

266 : Illustration de la notion d’indépendance en probabilités.

Leçon :
Illustration de la notion d’indépendance en probabilités.
Remarque :
J'ai choisi de détailler, dans ma première partie, l'existence d'une suite de variables aléatoires identiques et indépendantes d'une loi donnée, à partir d'une suite de pile ou face.
Références :
- Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- 266.pdf

De l'intégration aux probabilités

Utilisée dans les 14 développements suivants :

Utilisée dans les 14 leçons suivantes :

Utilisée dans les 18 versions de développements suivants :

Théorèmes de Cochran et de Fisher

Inégalité de Le Cam

Formule de Stirling (par le théorème central limite)

Fonctions caractéristiques de la loi normale et de Cauchy

Loi forte des grands nombres L^2

Inégalité de Le Cam

Étude relative à la fonction Zeta

Fonctions caractéristiques de la loi normale et de Cauchy

Étude relative à la fonction Zeta

Théorème central limite

Marches aléatoires sur Z

Théorème de Lévy et TCL

Fonction zeta et nombres premiers

Cochran, Fischer et application test chi-deux

Paul-Lévy, TCL et applications

Étude relative à la fonction Zeta

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Statistiques du nombre de cycles d'une permutation aléatoire

Utilisée dans les 21 versions de leçons suivantes :

260 : Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire.

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

202 : Exemples de parties denses et applications.

239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

262 : Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

266 : Illustration de la notion d’indépendance en probabilités.

250 : Transformation de Fourier. Applications.

239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

121 : Nombres premiers. Applications.

262 : Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

266 : Illustration de la notion d’indépendance en probabilités.