Développement : Théorèmes de Cochran et de Fisher

Détails/Enoncé :

Théorème de Cochran :
Soit $X$ un vecteur gaussien d'espérance nulle et de matrice de covariance $\mathrm I_d$. On considère $E_1\oplus\dotsb\oplus E_r$ une décomposition de $\mathbb R^d$ en sous-espaces orthogonaux de dimensions respectives $d_1,\dotsc,d_r$. Alors les projections orthogonales $P_{E_1}(X),\dotsc,P_{E_r}(X)$ sont des vecteurs gaussiens indépendants. De plus, pour tout $j\in\{1,\dotsc,r\}$,
\[ \lVert P_{E_j}(X) \rVert_2^2 \sim \chi^2(d_j) \]

Théorème de Fisher :
Soit $\nu$ une loi sur $\{1,\dotsc,q\}$ telle que $\nu(j)>0$ pour tout $j$, et soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de loi $\nu$. Notons $N_{n,j}= \displaystyle\sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i=j\}}$ et $T_n = \displaystyle\sum_{j=1}^q \frac{ \big(N_{n,j} - n\, \nu(j)\big)^2 }{n\,\nu(j)}$. Alors :
\[ T_n \xrightarrow[n\to+\infty]{\mathcal{L}} \chi^2(q-1) \]

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Statistique mathématique en action, Rivoirard, Stoltz (utilisée dans 5 versions au total)
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 53 versions au total)