Leçon 262 : Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

(2022) 262
(2024) 262

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 262 - Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.) Les liens entre les différents modes de convergence d'une suite de variables aléatoires devront être illustrés par des exemples et contre-exemples variés. Les théorèmes de convergence du programme (lois des grands nombres, théorème central limite) sont bien sûr au coeur de cette leçon, et la preuve de la loi forte des grands nombres, éventuellement sous des hypothèses de confort, pourra être présentée. Les candidats aguerris pourront aborder la convergence des séries de variables aléatoires indépendantes, les marches aléatoires, la loi du logarithme itéré, le théorème central limite dans $R^d$, les chaînes de Markov, les lois stables ou infiniment divisibles.

(2019 : 262 - Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.) Les théorèmes limite sont au cœur de cette leçon. La maîtrise des différentes définitions des modes de convergence est attendue mais doit être complétée par leur mise en pratique dans les différents théorèmes limites. Les différences entre ces théorèmes doivent être abordées avec des exemples et contre-exemples. $\\$ Les implications entre les divers modes de convergence, ainsi que les réciproques partielles doivent être connues. Des contre-exemples aux réciproques sont attendus par le jury. Les théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème central limite) doivent être énoncés et il faut au moins en connaître l’architecture des preuves. $\\$ Pour aller plus loin, les candidats pourront s’intéresser au comportement asymptotique de marches aléatoires (en utilisant par exemple le lemme de Borel-Cantelli, les fonctions génératrices,...). Enfin, les résultats autour des séries de variables aléatoires indépendantes comme le théorème de Kolmogorov peuvent tout à fait se placer dans cette leçon. $\\$ On peut aussi s’intéresser aux temps de retour pour une marche aléatoire simple. Pour aller plus loin, et pour les candidats maîtrisant ces notions, on peut suggérer aussi l’étude asymptotique de(s) chaînes de Markov, ou encore d’aborder les lois infiniment divisibles, les lois stables, les processus de renouvellement (qui donnent de beaux théorèmes de convergence).
(2017 : 262 - Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.) Les implications entre les divers modes de convergence, ainsi que les réciproques partielles doivent être connues. Des contre-exemples aux réciproques sont attendus par le jury. Les théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème central limite) doivent être énoncés. On peut par ailleurs exiger de connaître au moins l’architecture des preuves. L’étude de maximum et minimum de $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi peut nourrir de nombreux exemples. Pour aller plus loin, les candidats pourront s’intéresser au comportement asymptotique de marches aléatoires (en utilisant par exemple le lemme de Borel-Cantelli, les fonctions génératrices,...) ou donner des inégalités de grandes déviations. Enfin, les résultats autour des séries de variables aléatoires indépendantes comme le théorème de Kolmogorov peuvent tout à fait se placer dans cette leçon.
(2016 : 262 - Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Exemples et applications. ) Les implications entre les divers modes de convergence, ainsi que les réciproques partielles doivent être connues. Des contre-exemples aux réciproques sont attendus par le jury. Les théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème central limite) doivent être énoncés. On peut par ailleurs exiger de connaître au moins l’architecture des preuves. L’étude de maximum et minimum de n variables aléatoires indépendantes et de même loi peut nourrir de nombreux exemples. Pour aller plus loin, les candidats pourront s’intéresser au comportement asymptotique de marches aléatoires (en utilisant par exemple le lemme de Borel-Cantelli, les fonctions génératrices, . . .) ou donner des inégalités de grandes déviations. Enfin, les résultats autour des séries de variables aléatoires indépendantes comme le théorème de Kolmogorov peuvent tout à fait se placer dans cette leçon.
(2015 : 262 - Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.) Les implications entre les divers modes de convergence, ainsi que les réciproques partielles doivent être connues. Des contre-exemples aux réciproques sont attendus par le jury. Les théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème central limite) doivent être énoncés. Les candidats plus aguerris pourront présenter le lemme de Slutsky (et son utilisation pour la construction d'intervalles de confiance).
(2014 : 262 - Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.) Les implications entre les divers modes de convergence, ainsi que les réciproques partielles doivent être connus. Des contre-exemples aux réciproques sont attendus par le jury. Les théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème limite central) doivent être énoncés. Les candidats plus aguerris pourront présenter le lemme de Slutsky (et son utilisation pour la construction d'intervalles de confiance), ou bien certains théorèmes de convergence pour les martingales.

Développements :

Plans/remarques :

2023 : Leçon 262 - Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 262 - Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.


2020 : Leçon 262 - Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.


2019 : Leçon 262 - Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.


2018 : Leçon 262 - Mode de convergence d’une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.


2017 : Leçon 262 - Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.


2016 : Leçon 262 - Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2015 : Leçon 262 - Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    262 : Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues.Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    D'abord des exos, puis des questions sur mon plan, qui ont entraîné d'autres exos.

    Quelques petites questions sur mon développement (pourquoi cette démonstration de la loi des GN nécessite de se placer dans $L^4$ ? donner l'énoncé du lemme de Borel-Cantelli). Puis un exo portant sur la démonstration de la loi forte des GN dans le cas $L^2$, en me donnant une piste de départ sur l'étude de la sous-suite $(S_{n^2})$ de la moyenne empirique $S_n$.
    Puis des questions sur le plan, notamment sur la démonstration du théorème de Lévy. J'ai donné les grandes lignes d'une démonstration passant par des sous-ensembles dont l'adhérence contient les fonctions continues à support compact, puis on a fait la démonstration dans le cas de la dimension 1 en passant par les distributions.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un membre du jury avait déjà sévi dans l'épisode "Pierre P et les espaces $L^p$". Il a récidivé en soufflant dès que j'ai dit que je prenais la leçon de proba. Ensuite, durant les exos, qu'il menait pour la plupart, il n'a pas arrêté de dire que son exo permettait de faire des maths (sous-entendu plutôt que des probas). Il est allé jusqu'à demander à son acolyte s'il l'autorisait à me poser une question portant sur une démonstration du thm de Lévy par les distributions tempérées. Il m'a ensuite demandé mon approbation : "Connaissez-vous les distributions tempérées ?". Lorsque j'ai répondu oui, il a ensuite été très souriant et content de pouvoir faire des maths.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Surpris d'avoir eu à faire un exo reposant essentiellement sur la transformée de Fourier dans $S'(\mathbb R)$, mais plutôt content de l'avoir eu car les distributions faisaient partie de mes leçons préférées.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    262 : Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    203 : Utilisation de la notion de compacité.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Inégalité de Hoeffding

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    D'abord des questions portant sur le plan (visiblement posées par quelqu'un qui l'avait mal lu, car les réponses étaient dedans), puis des exercices.

    Pourquoi la famille $n\mathbb{1}_{[0,1/n]}$, que j'avais mise comme exemple, n'est-elle pas uniformément intégrable ?

    Justifier l'inégalité de Hoeffding comme développement dans cette leçon (comme si je ne l'avais pas fait dans ma défense du plan !) et donner une autre inégalité du même genre, mois fine (comme si la loi des grands nombres $L^2$ ne se trouvait pas dans mon plan juste avant Hoeffding !).

    Comment montrer la formule de Stirling avec le théorème central limite ? (j'avais mis la propriété dans mon plan).

    Condition nécessaire et suffisante pour que $\sum_{k=1}^n X_k$ converge en loi, où les $X_k$ sont indépendantes et $X_k$ a la loi $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$.

    Montrer que si les $X_k$ sont iid de loi de Cauchy, $\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}$ converge en loi mais pas presque-sûrement (pour cette dernière propriété, j'ai parlé de tribu asymptotique et ils m'ont demandé le lemmme de Borel-Cantelli). J'ai reçu des indications.

    Si les $X_n$ sont indépendantes avec $X_n$ de loi $Ber(1/n)$, les $X_n$ convergent en probabilité, mais pas presque-sûrement.

    Si les $\epsilon_n$ sont iid avec $\mathbb{P}(\epsilon_n=1) = \mathbb{P}(\epsilon_n=-1)=1/2$ et $(a_n)_n$ est une suite de réels, donner une CNS pour que $\sum_{k=1}^n\epsilon_k a_k$ converge dans $L^2$, puis montrer que cette condition est aussi une condition de convergence dans $L^4$.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    20


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch (utilisée dans 46 versions au total)
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 61 versions au total)
Probabilités, Barbe-Ledoux (utilisée dans 30 versions au total)
Probabilités 2 , Ouvrard (utilisée dans 39 versions au total)
Les contre-exemples en mathématiques , Hauchecorne (utilisée dans 34 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 149 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 75 versions au total)
Probabilités 1 , Ouvrard (utilisée dans 12 versions au total)
Calcul des probabilités , Foata (utilisée dans 4 versions au total)
Probabilités pour les non-probabilistes, Walter Appel (utilisée dans 36 versions au total)
Statistique mathématique en action, Rivoirard, Stoltz (utilisée dans 5 versions au total)