Développement : Marches aléatoires sur Z

Détails/Enoncé :

Deux propriétés (indépendantes) des marches aléatoires sur $\mathbb{Z}$.
$\mu$ une proba quelconque sur $\mathbb{Z}$, $(X_k)_{k\geq1}$ iid de loi $\mu$, $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$.

1) Si $N$ est le nombre de passages en zéro : $P(N=\infty) = \left\{
\begin{array}{rl}
1 & \text{si}~ \sum_{n=0}^\infty P(S_n=0) = \infty \\
0 & \text{sinon}
\end{array}
\right.$. Appli cas Rademacher.

2) Si $\mu$ est symétrique et non triviale, ps on a $\varliminf S_n = -\infty$ et $\varlimsup S_n = \infty$.

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