Développement : Théorème de Lindeberg

Détails/Enoncé :

Soit $(r_n)_n$ une suite d'entiers et $(X_{n,k})_{1\leq k\leq r_n}$ des variables aléatoires centrées indépendantes (selon $k$). On note $\sigma_{n,k}^{2}=\mathbb{E}[X_{n,k}^{2}]$, $s_{n}^{2}=\sum_{k=1}^{r_{n}}\sigma_{n,k}^{2}$, $S_{n}=\sum_{k=1}^{r_{n}}X_{n,k}$. On suppose de plus que les $(X_{n,k})$ vérifient la condition de Lindeberg:
\[\forall \varepsilon>0,\ \ \frac{1}{s_{n}^{2}}\sum_{k=1}^{r_{n}}\mathbb{E}[X_{n,k}^{2}1_{|X_{n,k}|>\varepsilon s_n}]\underset{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow}0\]


Alors $\frac{S_{n}}{s_{n}}$ converge en loi vers une loi normale centrée réduite.

Recasages pour l'année 2024 :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Probality and measure , Billingsley (utilisée dans 2 versions au total)