Développement : Théorème de Lindeberg

Détails/Enoncé :

Soit $(r_n)_n$ une suite d'entiers et $(X_{n,k})_{1\leq k\leq r_n}$ des variables aléatoires centrées indépendantes (selon $k$). On note $\sigma_{n,k}^{2}=\mathbb{E}[X_{n,k}^{2}]$, $s_{n}^{2}=\sum_{k=1}^{r_{n}}\sigma_{n,k}^{2}$, $S_{n}=\sum_{k=1}^{r_{n}}X_{n,k}$. On suppose de plus que les $(X_{n,k})$ vérifient la condition de Lindeberg:
\[\forall \varepsilon>0,\ \ \frac{1}{s_{n}^{2}}\sum_{k=1}^{r_{n}}\mathbb{E}[X_{n,k}^{2}1_{|X_{n,k}|>\varepsilon s_n}]\underset{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow}0\]


Alors $\frac{S_{n}}{s_{n}}$ converge en loi vers une loi normale centrée réduite.

Recasages pour l'année 2026 :

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    Si vous ne voulez pas démontrer le TCL par principe mais qu'il vous faut quelque chose qui se recase au moins trois fois dans la 260aine - et qui puisse faire assez peur au jury pour lui faire croire que vous vous y connaissez en probas, vous avez sonné à la bonne porte. Ce TCL « de Lindeberg », selon les mots de notre ami J. Badin : « optimise les hypothèses du théorème limite central selon l'idée de preuve classique avec les fonctions caractéristiques. On autorise ainsi des variables aléatoires non identiquement distribuées mais toujours indépendantes ». C'est un option A, alors vous pouvez l'écouter.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Probality and measure , Billingsley (utilisée dans 3 versions au total)