Leçon 260 : Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire.

(2018) 260

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 260 - Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire.) Le jury attend des candidats qu’ils donnent la définition des moments centrés, qu’ils rappellent les implications d’existence de moments (décroissance des $L^p$). Le candidat peut citer — mais doit surtout savoir retrouver rapidement — les espérances et variances de lois usuelles, notamment Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson, exponentielle, normale. La variance de la somme de variables aléatoires indépendantes suscite souvent des hésitations. Les inégalités classiques (de Markov, de Bienaymé-Chebyshev, de Jensen et de Cauchy-Schwarz) pourront être données, ainsi que les théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème central limite). La notion de fonction génératrice des moments pourra être présentée ainsi que les liens entre moments et fonction caractéristique. Pour aller plus loin, le comportement des moyennes empiriques pour une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées n’admettant pas d’espérance pourra être étudié. Pour les candidats suffisamment à l’aise avec ce sujet, l’espérance conditionnelle pourra aussi être abordée.

(2016 : 260 - Espérance, variance et moments de variables aléatoires. ) Le jury attend des candidats qu’ils donnent la définition des moments centrés, qu’ils rappellent les implications d’existence de moments (décroissance des L p ). Le candidat peut citer — mais doit surtout savoir retrouver rapidement — les espérances et variances de lois usuelles, notamment Bernoulli, binômiale, géométrique, Poisson, exponentielle, normale. La variance de la somme de variables aléatoires indépendantes suscite souvent des hésitations. Les inégalités classiques (de Markov, de Bienaymé-Chebychev, de Jensen et de Cauchy-Schwarz) pourront être données, ainsi que les théorèmes de convergence (loi des grands nombres et théorème central limite). La notion de fonction génératrice des moments pourra être présentée ainsi que les liens entre moments et fonction caractéristique. Pour aller plus loin, le comportement des moyennes pour une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées n’admettant pas d’espérance pourra être étudié. Pour les candidats suffisamment à l’aise avec ce sujet, l’espérance conditionnelle pourra aussi être abordée.
(2015 : 260 - Espérance, variance et moments de variables aléatoires.) Le jury attend des candidats qu'ils donnent la définition des moments centrés, qu'ils rappellent les implications d'existence de moments. Les inégalités classiques (de Markov, de Bienaymé-Chebychev, de Jensen et de Cauchy-Schwarz) pourront être données, ainsi que les théorèmes de convergence (loi des grands nombres et théorème central limite). Le comportement des moyennes pour une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées n'admettant pas d'espérance pourra être étudié. La notion de fonction génératrice des moments pourra être présentée.
(2014 : 260 - Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire.) Le jury attend des candidats qu'ils donnent la définition des moments centrés, qu'ils rappellent les implications d'existence de moments. Les inégalités classiques (de Markov, de Bienaymé-Chebichev, de Jensen et de Cauchy-Schwarz) pourront être données, ainsi que les théorèmes de convergence (loi des grands nombres et théorème limite central). Le comportement des moyennes de Cesàro pour une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées n'admettant pas d'espérance pourra être étudié. La notion de fonction génératrice des moments pourra être présentée.

Plans/remarques :

2018 : Leçon 260 - Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire.


2017 : Leçon 260 - Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire.


2016 : Leçon 260 - Espérance, variance et moments de variables aléatoires.


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