Développement : Formule de Stirling (par le théorème central limite)

Détails/Enoncé :

On applique le théorème central limite à des v.a. i.i.d. de loi $\mathcal{E}(1)$ et on retrouve la formule de Stirling :
\[n!\sim \sqrt{2\pi}\, n^{n+\frac{1}{2}}\, \mathrm{e}^{-n}\]

Recasages pour l'année 2026 :

Autres années :

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    Démonstration rapide. On peut aussi faire un argument de convergence dominée plutôt que de convergence monotone, voir : https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/analysis/stirling.pdf

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    J'aime pas trop ce développement, mais je ne l'utilise que dans une seule leçon, que je préfère de toute manière éviter.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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    Développement disponible dans le livre $\textit{Développements abordables et détaillés pour l'agrégation de Mathématiques}$ de Léon Lévy aux éditions Ellipses.
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    Je propose une adaptation de ce dev pour le faire rentrer dans la 234,235,239,261,262 et 266. Explication video détaillée du dev sur ma chaine Youtube
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 161 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 114 versions au total)
ORAUX X-ENS 6 (nouvelle édition), Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 19 versions au total)