Leçon 263 : Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.

(2016) 263
(2018) 263

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 263 - Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.) Le jury attend des candidats qu’ils rappellent la définition d’une variable aléatoire à densité et que des lois usuelles soient présentées, en lien avec des exemples classiques de modélisation. Certains candidats trouveront utile de mentionner le théorème de Radon-Nikodym, même s’il ne s’agit pas de faire un cours abstrait sur l’absolue continuité. Le lien entre indépendance et produit des densités est un outil important. Le lien entre la somme de variables indépendantes et la convolution de leurs densités est trop souvent oublié. Ce résultat général peut être illustré par des exemples issus des lois usuelles. Les candidats pourront expliquer comment fabriquer n’importe quelle variable aléatoire à partir d’une variable uniforme sur $[0,1]$. Les candidats proposent parfois en développement la caractérisation de la loi exponentielle comme étant l’unique loi absolument continue sans mémoire : c’est une bonne idée de développement de niveau élémentaire pour autant que les hypothèses soient bien posées et toutes les étapes bien justifiées. On pourra pousser ce développement à un niveau supérieur en s’intéressant au minimum ou aux sommes de telles lois. La preuve du théorème de Scheffé sur la convergence en loi peut faire l’objet d’une partie d’un développement. La loi de Cauchy offre encore des idées de développements intéressants (par exemple en la reliant au quotient de deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi normale centrée). Pour aller plus loin, les candidats pourront aborder la notion de vecteurs gaussiens et son lien avec le théorème central limite. On peut aussi proposer en développement le théorème de Cochran.

(2016 : 263 - Variables aléatoires à densité. Exemples et applications. ) Le jury attend des candidats qu’ils rappellent la définition d’une variable aléatoire à densité et que des lois usuelles soient présentées, en lien avec des exemples classiques de modélisation. Les très bons candidats auront en tête le théorème de Radon-Nikodym, même s’il ne s’agit pas de faire un cours abstrait sur l’absolue continuité. Le lien entre indépendance et produit des densités est un outil important. Le lien entre la somme de variables indépendantes et la convolution de leurs densités est trop souvent oublié. Ce résultat général peut être illustré par des exemples issus des lois usuelles. Les candidats pourront expliquer comment fabriquer n’importe quelle variable aléatoire à partir d’une variable uniforme sur $[0,1]$. Les candidats proposent parfois en développement la caractérisation de la loi exponentielle comme étant l’unique loi absolument continue sans mémoire : c’est une bonne idée de développement de niveau élémentaire pour autant que les hypothèses soient bien posées et toutes les étapes bien justifiées. On pourra pousser ce développement à un niveau supérieur en s’intéressant au minimum ou aux sommes de telles lois. La preuve du théorème de Scheffé sur la convergence en loi peut aussi faire l’objet d’un développement. La loi de Cauchy offre encore des idées de développements intéressants (par exemple en la reliant au quotient de deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi normale centrée). Pour aller plus loin, les candidats pourront aborder la notion de vecteurs gaussiens et son lien avec le théorème central limite. On peut aussi proposer en développement le théorème de Cochran.
(2015 : 263 - Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.) Le jury attend des candidats qu'ils rappellent la définition d'une variable aléatoire à densité et que des lois usuelles soient présentées, en lien avec des exemples classiques de modélisation. Le lien entre l'indépendance et la convolution pourra être étudié. Les candidats pourront expliquer comment fabriquer n'importe quelle variable aléatoire à partir d'une variable uniforme sur $[0,1]$ et l'intérêt de ce résultat pour la simulation informatique. Pour aller plus loin, certains candidats pourront aborder la notion de vecteurs gaussiens et son lien avec le théorème central limite.
(2014 : 263 - Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.) Le jury attend des candidats qu'ils rappellent la définition d'une variable aléatoire à densité et que des lois usuelles soient présentées, en lien avec des exemples classiques de modélisation. Le lien entre l'indépendance et la convolution pourra être étudié. Les candidats pourront expliquer comment fabriquer n'importe quelle variable aléatoire à partir d'une variable uniforme sur $[0, 1]$ et l'intérêt de ce résultat pour la simulation informatique. Pour aller plus loin, certains candidats pourront aborder la notion de vecteurs gaussiens et son lien avec le théorème limite central.

Développements :

Plans/remarques :

2017 : Leçon 263 - Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.


2016 : Leçon 263 - Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.


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