Leçon 236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

(2018) 236

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonction d'une ou plusieurs variables.) Cette leçon doit être très riche en exemples, que ce soit l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$ ou bien d’autres encore. Il est tout à fait pertinent de commencer par les différentes techniques élémentaires (intégration par parties, changement de variables, décomposition en éléments simples, intégrale à paramètres,...). On peut également présenter des utilisations du théorème des résidus, ainsi que des exemples faisant intervenir les intégrales multiples comme le calcul de l’intégrale d’une gaussienne. Le calcul du volume de la boule unité de $R^n$ ne doit pas poser de problèmes insurmontables. Le calcul de la transformation de Fourier d’une gaussienne a sa place dans cette leçon. On peut aussi penser à l’utilisation du théorème d’inversion de Fourier ou du théorème de Plancherel. Certains éléments de la leçon précédente, comme par exemple l’utilisation des théorèmes de convergence monotone, de convergence dominée et/ou de Fubini, sont aussi des outils permettant le calcul de certaines intégrales. Enfin, il est aussi possible d’évoquer les méthodes de calcul approché d’intégrales (méthodes des rectangles, méthode de Monte-Carlo, etc.).

(2016 : 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.) Cette leçon doit être très riche en exemples simples, comme l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$. Il est souhaitable de présenter des utilisations du théorème des résidus, ainsi que des exemples faisant intervenir les intégrales multiples comme le calcul de l’intégrale d’une gaussienne. Le calcul du volume de la boule unité de $R^n$ ne doit pas poser de problèmes insurmontables. Le calcul de la transformation de Fourier d’une gaussienne a sa place dans cette leçon. On peut aussi penser à l’utilisation du théorème d’inversion de Fourier ou du théorème de Plancherel. Certains éléments de la leçon précédente, comme par exemple l’utilisation des théorèmes de convergence monotone, de convergence dominée et/ou de Fubini, sont aussi des outils permettant le calcul de certaines intégrales.
(2015 : 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.) Dans cette leçon, il est souhaitable de présenter des utilisations du théorème des résidus, ainsi que des exemples faisant intervenir les intégrales multiples. On peut aussi penser à l'utilisation du théorème d'inversion de Fourier ou du théorème de Plancherel. Le calcul du volume de la boule unité de $\mathbb{R}^n$ ne devrait pas poser de problèmes insurmontables.

Plans/remarques :

2018 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.


2017 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonction d'une ou plusieurs variables.


2016 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.


Retours d'oraux :

2016 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

  • Leçon choisie :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

  • Autre leçon :

    214 : Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement :
    Ils m'ont fait corriger les quelques erreurs que j'avais écrites.
    Détailler Fubini, préciser la définition du produit de convolution, pourquoi a-t-on convergence dans $L^p$ de $f*h_n$ vers $f$ (avec $h_n$ approximation de l’unité), puis pourquoi a-t-on la continuité de l’opérateur de translation (densité des $C_c$), enfin pourquoi si on converge dans $L^p$ on a une suite extraite qui converge pp.

    Le probabiliste se réveille :
    - Qu’est-ce que ce corollaire d’extraction dit au niveau des v.a.
    Je n’ai pas tout de suite très bien compris ce qu’il voulait me faire dire, il m’a demandé alors les implications des différents modes de cv de va et j’ai répondu.
    - Que peut-on dire en l’infini de la transformée de Fourier de $f$ ? Riemann Lebesgue.
    - Est-ce vrai pour la transformée de Fourier d’une mesure ? Non avec les Dirac
    - Quand est-ce vrai ? Là j’ai dit que je ne savais pas précisément, ça marche si on est absolument continue par rapport à Lebesgue (oui bon d’accord…) puis j’ai parlé du théorème de Lévy mais c’est pas vraiment ce qu’il attendait.
    Le probabiliste se rendort.

    Exercice : Calculer $\int_0^\infty \frac{1}{1+x^n}dx$
    J’ai dit qu’on pouvait utiliser des résidus (j’avais mis cette intégrale avec $n=4$ dans mon plan), puis ils m’ont fait chercher un contour, j’ai un peu galéré parce qu’on ne pouvait pas prendre le demi cercle supérieur comme je l’avais mis dans le plan, il fallait réduire en un domaine plus petit (type camembert) avec le bon angle, que j’ai galéré à trouver (alors que c’était juste $2 \pi /n$…).

    Exercice : le probabiliste se réveille à nouveau. On prend deux va normales centrées réduites indépendantes $X$ et $Y$, calculer la loi de $X/Y$. J’ai dit qu’il fallait calculer $E[f(X/Y)]$ pour $f$ borélienne positive quelconque, faire un changement de variables. Je me suis un peu embrouillé avec l’intégrale, je ne savais plus si j’intégrer sur $\mathbb R$ ou $\mathbb R^2$, bref c’était pas très joli à voir, surtout que j’ai fini par écrire le changement de variables en oubliant de déterminant du jacobien...le boss me dit alors « et c’est tout », et je réponds, genre j’y avais pensé, non il faut le déterminant du jacobien. Pas eu le temps de finir.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Trois profs : un boss, une dame, un probabiliste.
    Le boss menait la discussion, le probabiliste posait les questions de probas (eh oui !), la dame n'a rien dit.
    Jury très neutre.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Très stressé au début de l’oral (c’était mon premier), donc des erreurs sur le développement qu’ils m’ont fait corriger (il manquait une intégrale puis il y en avait une qui n’avait pas lieu d’être).
    3h c'est court !! J'ai été un peu pris par le temps, donc je n'ai pas eu le temps de relire mes développements...ce qui m'aurait éviter plusieurs erreurs.
    Suivez les conseils de Danthony !!!! J'ai eu toutes la ribambelle de questions sur des preuves de convolution, j'étais bien content de savoir y répondre avec les bons arguments dans l'ordre.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


2015 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

  • Leçon choisie :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

  • Autre leçon :

    246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Résolution de y'' - y = H dans S'(R)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    quelques questions sur le plan et deux exos.

    - Une question sur le dev (le calcul de la transformée de $\delta_0$, je l'ai fait en le voyant comme une distrib - ça prend une ligne - et ils m'ont demandé de le faire "directement", par un calcul de transformée pour une mesure du coup)

    - Questions sur le plan : dans quels items du plan j'utilisais le théorème de changement de variable (j'explique vite fait le calcul de l'intégrale de la gaussienne notamment) ; pourquoi j'avais mentionné la marche aléatoire sur $\mathbb{Z}^d$ (c'était un exemple donné après l'intégration des $1 /||x||^{\alpha}$, je me suis embrouillé à pas trop savoir quoi dire et quoi survolé mais j'ai finalement justifié la présence du truc (on intègre des trucs de la forme $1/(1-cos(x))$) ; est-ce que j'avais un autre exemple de calcul des résidus en tête (hic, j'ai donné que mon dev 1 comme exemple, je savais pas où en chercher d'autre - ben j'en avais pas, c'est un peu con).

    - Exo 1 :

    $$
    I_n = \int_0^n (1-x/n)^n \ln(x) dx
    $$

    Donner la limite de $I_n$ (dire ce que c'est puis le montrer). En déduire la valeur de $\int_0^{\infty} \exp(-x) \ln(x) dx$.

    ---

    Que du bon calcul calculatoire de taupin. Le machin auquel on pense tend vers l'exponentielle et donc, incroyable, la limite de $I_n$ c'est l'autre intégrale.

    On commence par mettre une $\mathbb{1}_{[0,n]}$ pour que l'intégrale soit gérable, puis on fait de la CVD ; pour la domination, on peut passer par la concavité du log et hop. Pour calculer l'intégrale ensuite il va falloir une écriture explicite de $I_n$ : on change de variable pour virer les $x/n$, on découpe ce qu'il reste du log, ce qui fait poper un terme qui s'intègre directement et un autre qu'on peut calculer par IPP. On a arrêté l'exo une fois que j'avais amorcé l'IPP, on m'a vite fait demandé si je savais la limite de $\ln(n) - \sum_{k=1}^n 1/k$ qui intervient à la fin (houuuuu).

    - Exo 2 : on prend $A$ une matrice symétrique. Deviner quel exo on va bien pouvoir faire avec dans cette leçon.

    ---

    Bon, le vrai exo, c'était évidemment d'étudier $\int_{\mathbb{R}^n} \exp(-(Ax,x)) dx$, et de la calculer quand $A$ est $S_n^{++}$. Voilà, voilà...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Quelques indications quand je mongolisais, et jury qui aide notamment à ne pas écrire de choses fausses (ils m'ont corrigé immédiatement quelques erreurs type problème de signe / objets qui disparaissent mystérieusement d'une ligne sur l'autre / ...)

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    - C'est vraiment pas beaucoup trop heures fichtre ! J'avais une bonne idée de plan, quelques bons exemples mais il m'en manquait des basiques pour illustrer certaines notions et mon plan était un peu vide.

    - Je suis tombé sur JP Barani, un colleur de ma prépa (qui ne m'a pas reconnu) qui me terrifiait. Il s'est montré plutôt sympa, finalement.

    - Globalement, je m'attendais un peu à la douche (plan OK mais maigre, développements pas trop en confiance) mais ça s'est plutôt bien passé. Dommage pour les trop nombreuses erreurs de mongol.

  • Note obtenue :

    15