Leçon 236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

(2014) 236
(2016) 236

Dernier rapport du Jury :

(2015 : 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.) Dans cette leçon, il est souhaitable de présenter des utilisations du théorème des résidus, ainsi que des exemples faisant intervenir les intégrales multiples. On peut aussi penser à l'utilisation du théorème d'inversion de Fourier ou du théorème de Plancherel. Le calcul du volume de la boule unité de $\mathbb{R}^n$ ne devrait pas poser de problèmes insurmontables.

Plans/remarques :

Pas de plans pour cette leçon.

Retours d'oraux :

2015 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

  • Leçon choisie :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

  • Autre leçon :

    246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Résolution de y'' - y = H dans S'(R)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    quelques questions sur le plan et deux exos.

    - Une question sur le dev (le calcul de la transformée de $\delta_0$, je l'ai fait en le voyant comme une distrib - ça prend une ligne - et ils m'ont demandé de le faire "directement", par un calcul de transformée pour une mesure du coup)

    - Questions sur le plan : dans quels items du plan j'utilisais le théorème de changement de variable (j'explique vite fait le calcul de l'intégrale de la gaussienne notamment) ; pourquoi j'avais mentionné la marche aléatoire sur $\mathbb{Z}^d$ (c'était un exemple donné après l'intégration des $1 /||x||^{\alpha}$, je me suis embrouillé à pas trop savoir quoi dire et quoi survolé mais j'ai finalement justifié la présence du truc (on intègre des trucs de la forme $1/(1-cos(x))$) ; est-ce que j'avais un autre exemple de calcul des résidus en tête (hic, j'ai donné que mon dev 1 comme exemple, je savais pas où en chercher d'autre - ben j'en avais pas, c'est un peu con).

    - Exo 1 :

    $$
    I_n = \int_0^n (1-x/n)^n \ln(x) dx
    $$

    Donner la limite de $I_n$ (dire ce que c'est puis le montrer). En déduire la valeur de $\int_0^{\infty} \exp(-x) \ln(x) dx$.

    ---

    Que du bon calcul calculatoire de taupin. Le machin auquel on pense tend vers l'exponentielle et donc, incroyable, la limite de $I_n$ c'est l'autre intégrale.

    On commence par mettre une $\mathbb{1}_{[0,n]}$ pour que l'intégrale soit gérable, puis on fait de la CVD ; pour la domination, on peut passer par la concavité du log et hop. Pour calculer l'intégrale ensuite il va falloir une écriture explicite de $I_n$ : on change de variable pour virer les $x/n$, on découpe ce qu'il reste du log, ce qui fait poper un terme qui s'intègre directement et un autre qu'on peut calculer par IPP. On a arrêté l'exo une fois que j'avais amorcé l'IPP, on m'a vite fait demandé si je savais la limite de $\ln(n) - \sum_{k=1}^n 1/k$ qui intervient à la fin (houuuuu).

    - Exo 2 : on prend $A$ une matrice symétrique. Deviner quel exo on va bien pouvoir faire avec dans cette leçon.

    ---

    Bon, le vrai exo, c'était évidemment d'étudier $\int_{\mathbb{R}^n} \exp(-(Ax,x)) dx$, et de la calculer quand $A$ est $S_n^{++}$. Voilà, voilà...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Quelques indications quand je mongolisais, et jury qui aide notamment à ne pas écrire de choses fausses (ils m'ont corrigé immédiatement quelques erreurs type problème de signe / objets qui disparaissent mystérieusement d'une ligne sur l'autre / ...)

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    - C'est vraiment pas beaucoup trop heures fichtre ! J'avais une bonne idée de plan, quelques bons exemples mais il m'en manquait des basiques pour illustrer certaines notions et mon plan était un peu vide.

    - Je suis tombé sur JP Barani, un colleur de ma prépa (qui ne m'a pas reconnu) qui me terrifiait. Il s'est montré plutôt sympa, finalement.

    - Globalement, je m'attendais un peu à la douche (plan OK mais maigre, développements pas trop en confiance) mais ça s'est plutôt bien passé. Dommage pour les trop nombreuses erreurs de mongol.

  • Note obtenue :

    15


Références utilisées dans les versions de cette leçon :