Leçon 236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

Résolution de y'' - y = H dans S'(R)

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

quelques questions sur le plan et deux exos.

- Une question sur le dev (le calcul de la transformée de $\delta_0$, je l'ai fait en le voyant comme une distrib - ça prend une ligne - et ils m'ont demandé de le faire "directement", par un calcul de transformée pour une mesure du coup)

- Questions sur le plan : dans quels items du plan j'utilisais le théorème de changement de variable (j'explique vite fait le calcul de l'intégrale de la gaussienne notamment) ; pourquoi j'avais mentionné la marche aléatoire sur $\mathbb{Z}^d$ (c'était un exemple donné après l'intégration des $1 /||x||^{\alpha}$, je me suis embrouillé à pas trop savoir quoi dire et quoi survolé mais j'ai finalement justifié la présence du truc (on intègre des trucs de la forme $1/(1-cos(x))$) ; est-ce que j'avais un autre exemple de calcul des résidus en tête (hic, j'ai donné que mon dev 1 comme exemple, je savais pas où en chercher d'autre - ben j'en avais pas, c'est un peu con).

- Exo 1 :

$$
I_n = \int_0^n (1-x/n)^n \ln(x) dx
$$

Donner la limite de $I_n$ (dire ce que c'est puis le montrer). En déduire la valeur de $\int_0^{\infty} \exp(-x) \ln(x) dx$.

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Que du bon calcul calculatoire de taupin. Le machin auquel on pense tend vers l'exponentielle et donc, incroyable, la limite de $I_n$ c'est l'autre intégrale.

On commence par mettre une $\mathbb{1}_{[0,n]}$ pour que l'intégrale soit gérable, puis on fait de la CVD ; pour la domination, on peut passer par la concavité du log et hop. Pour calculer l'intégrale ensuite il va falloir une écriture explicite de $I_n$ : on change de variable pour virer les $x/n$, on découpe ce qu'il reste du log, ce qui fait poper un terme qui s'intègre directement et un autre qu'on peut calculer par IPP. On a arrêté l'exo une fois que j'avais amorcé l'IPP, on m'a vite fait demandé si je savais la limite de $\ln(n) - \sum_{k=1}^n 1/k$ qui intervient à la fin (houuuuu).

- Exo 2 : on prend $A$ une matrice symétrique. Deviner quel exo on va bien pouvoir faire avec dans cette leçon.

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Bon, le vrai exo, c'était évidemment d'étudier $\int_{\mathbb{R}^n} \exp(-(Ax,x)) dx$, et de la calculer quand $A$ est $S_n^{++}$. Voilà, voilà...

Quelques indications quand je mongolisais, et jury qui aide notamment à ne pas écrire de choses fausses (ils m'ont corrigé immédiatement quelques erreurs type problème de signe / objets qui disparaissent mystérieusement d'une ligne sur l'autre / ...)

- C'est vraiment pas beaucoup trop heures fichtre ! J'avais une bonne idée de plan, quelques bons exemples mais il m'en manquait des basiques pour illustrer certaines notions et mon plan était un peu vide.

- Je suis tombé sur JP Barani, un colleur de ma prépa (qui ne m'a pas reconnu) qui me terrifiait. Il s'est montré plutôt sympa, finalement.

- Globalement, je m'attendais un peu à la douche (plan OK mais maigre, développements pas trop en confiance) mais ça s'est plutôt bien passé. Dommage pour les trop nombreuses erreurs de mongol.

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