Développement : Formule des compléments

Détails/Enoncé :

Pour tout $z \in \mathbb{C}$ tel que $0 < \mathsf{Re}(z) < 1$, alors

$$ \Gamma(z) \Gamma(1-z) =\frac{\pi}{\sin(\pi z)} $$

où $\Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} dt$ est la fonction $\Gamma$ d'Euler définie pour $\mathsf{Re}(z) > 0$.

Recasages pour l'année 2026 :

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    J'ai repris la preuve du théorème un peu plus tard dans l'année pour remplacer le "trou de serrure" par un contour bien plus simple ; la référence est en anglais mais ça vaut vraiment le coup, ça simplifie énormément la preuve. Grâce à ça, le développement est largement faisable.

    Pour information, je l'ai présenté en oral blanc, puis le jour de l'oral. On m'a posé deux questions :
    1) Que dire du comportement de la fonction Gamma en 0 ? (Réponse : passer par la formule des compléments, équivalents quand z tend vers 0)
    2) Enoncer le principe des zéros isolés. Qu'est-ce qu'un point isolé, au fait ?

    Attention aux coquilles.
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    Un développement vraiment pas simple mais on est très content de le faire quand on l'a travaillé ! Il met en jeu beaucoup d'analyse complexe (cool) et de changements de variable (moins cool). Mon document donne la preuve dans les grandes lignes, il manque beaucoup de passages techniques, mais sans malice (ça ne me semble pas pertinent d'écrire 2 pages de changements de variable).
    Bref, il est sympa mais pas simple !

    Je le prends pour les leçons 235, 236, 239, 244 et 245 !

    On trouvera le lemme vers la page 234 et la preuve du théorème page 183 (c'est la solution de l'exercice 5 qui vient quelques pages avant).
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    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
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    Si vous avez fait le théorème de Montel dans la leçon d'analyse complexe, il vous manque le théorème des résidus. Prenez-donc une petite formule des compléments. Elle se recase très bien et elle ouvre la porte, juste comme ça, on fait passer la lumière et on sent l'odeur des petits pains monter, à travers la porte des produits infinis de nombres complexes : développement de la cotangente, produit eulérien pour la fonction zêta, monts et merveilles.
    Tout le monde utilise un contour en rectangle, ce qui est admittedly plus rapide, mais je préfère le pseudo-trou de serrure du Bernis, même s'il est plus long. (On peut alors sauter le prolongement analytique ou même le changement de variables initial.) C'est très chouette d'intuiter le comportement : les arcs de cercle s'évanouissent, et les demi-droites ne se compensent pas via le déséquilibre venant du winding du logarithme coprincipal. Attention petite coquille dans la réf pour les hypothèses du convergence dominée.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Complex analysis, Stein, Shakarchi (utilisée dans 9 versions au total)
Analyse Complexe, Amar, Mathéron (utilisée dans 26 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 175 versions au total)
Analyse complexe et applications, Martine Queffélec, Hervé Queffélec (utilisée dans 57 versions au total)
Les fonctions spéciales vues par les problèmes, 517.5 , Groux, Soulat (utilisée dans 5 versions au total)