Développement : Formule des compléments

Détails/Enoncé :

Pour tout $z \in \mathbb{C}$ tel que $0 < \mathsf{Re}(z) < 1$, alors

$$ \Gamma(z) \Gamma(1-z) =\frac{\pi}{\sin(\pi z)} $$

où $\Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} dt$ est la fonction $\Gamma$ d'Euler définie pour $\mathsf{Re}(z) > 0$.

Recasages pour l'année 2024 :

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    Un développement vraiment difficile je trouve. Le lemme est une application plutôt hardcore du théorème des résidus. La preuve du théorème roule plutôt bien par contre.
    Je compte retravailler le développement pour faire le lemme avec un contour plus simple (parce que bon, le "trou de serrure"...).

    Attention aux coquilles.
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    Un développement vraiment pas simple mais on est très content de le faire quand on l'a travaillé ! Il met en jeu beaucoup d'analyse complexe (cool) et de changements de variable (moins cool). Mon document donne la preuve dans les grandes lignes, il manque beaucoup de passages techniques, mais sans malice (ça ne me semble pas pertinent d'écrire 2 pages de changements de variable).
    Bref, il est sympa mais pas simple !

    Je le prends pour les leçons 235, 236, 239, 244 et 245 !

    On trouvera le lemme vers la page 234 et la preuve du théorème page 183 (c'est la solution de l'exercice 5 qui vient quelques pages avant).
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Complex analysis, Stein, Shakarchi (utilisée dans 6 versions au total)
Analyse Complexe, Amar, Mathéron (utilisée dans 21 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 131 versions au total)
Analyse complexe et applications, Martine Queffélec, Hervé Queffélec (utilisée dans 15 versions au total)
Les fonctions spéciales vues par les problèmes, 517.5 , Groux, Soulat (utilisée dans 4 versions au total)