Profil de Matoumatheux

Informations :

Inscrit le :
08/11/2023
Dernière connexion :
27/05/2024
Email :
matthias.hostein@ens-rennes.fr
Inscrit à l'agrégation :
2024, option B
Résultat :
Admissible

Ses versions de développements :

  • Développement :
  • Remarque :
    Je remets l'énoncé puisqu'il a visiblement disparu.

    Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{C})$ de dimension finie notée $n$ et stable par les opérateurs translation, définis pour $a \in \mathbb{R}$ par :
    $$
    \begin{array}{ccrcl}
    \tau_a & : & \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{C}) & \longrightarrow & \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{C}) \\
    & & f & \longmapsto & \tau_af : x \mapsto f(x-a).
    \end{array}
    $$
    Alors $E$ est l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants d'ordre $n$, c'est-à-dire que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{C})$ et qu'il existe un polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ unitaire et de degré $n$ tel que :
    $$
    E = \ker \left(P(D)\right)
    $$
    où $D$ est l'opérateur de dérivation :
    $$
    \begin{array}{ccrcl}
    D & : & \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{C}) & \longrightarrow & \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{C}) \\
    & & f & \longmapsto & f'.
    \end{array}
    $$

    Il y a même équivalence mais le sens réciproque est facile à remontrer. J'ai rajouté quelques compléments sur la dualité et où est-ce qu'il faut faire attention en dimension infinie.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    J'ai l'impression que dire que $P$ s'écrit comme le produit des $\mathrm{pgcd}(P,V-\alpha)$ est un peu superflu, exhiber un facteur non-trivial suffit pour enclencher la récurrence et donc ça peut vous faire gagner du temps. Sinon très bonne version dans Objectif Agrégation, comparé à la version du Demazure qui est imbitable (pour moi)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Le Perrin dit que "c'est facile le dénombrement du centralisateur" il ment ! Il faut bien le détailler si on veut pas se perdre ! Sinon, si vous savez comment on construit un automorphisme de $\mathfrak{S}_6$ qui ne soit pas intérieur, vous aurez tout gagné pour ce développement !
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    La version de Gourdon peut paraître déroutante car elle est faite comme un exercice de prépa. L'ordre des étapes, notamment, n'est pas forcément naturel. Je vous conseille donc de bien vous approprier la démonstration pour remettre les étapes dans l'ordre qui vous semble le plus naturel ! Mettez aussi des dessins pour bien justifier comment on approche l'indicatrice !

    Sinon, un développement très solide à recaser dans pas mal de leçons auxquelles on ne s'attend pas forcément ! Je remercie Thomas Cavallazzi pour son application aux séries de Fourier !

    PS : Au début de mon pdf, je mets qu'il est légitime de se demander comment "prolonger" une fonction sur le disque d'incertitude. Attention, comme le fais remarquer le rapport du jury, le théorème d'Abel angulaire n'est pas un théorème de prolongement, mais un théorème de continuité ! Cependant, il permet de définir un procédé de sommation convenable lorsque la série diverge en $1$.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Un développement qui utilise toute l'artillerie des espaces de Hilbert, qui utilise un nombre incalculable de fois l'égalité de Bessel et qui fera des merveilles dans les leçons 205, 208 et 213 ! Il y a de la matière dans ce développement, alors démontrez ce que vous maîtrisez le mieux ! Comme dit au début de ce développement, n'oubliez pas de donner des exemples d'opérateurs de Hilbert-Schmidt et d'opérateurs qui sont continus, mais pas de Hilbert-Schmidt, voire des exemples d'opérateurs compacts qui ne sont pas de Hilbert-Schmidt ! Un exemple est le suivant : si $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in c_0(\mathbb{N}) \setminus \ell^2(\mathbb{N})$, alors l'opérateur :
    \[
    T : (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^2(\mathbb{N}) \longmapsto (a_nu_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^2(\mathbb{N})
    \]
    est compact, mais pas de Hilbert-Schmidt !
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Le résultat est en soi remarquable ! Pour l'anecdote, on ne sait toujours pas s'il y a d'autres nombres de Fermat (de la forme $1+2^{2^{\beta}}$) que $3$, $5$, $17$ et $65.537$ qui sont premiers ! Soyez prêts à répondre aux questions sur les polynômes cyclotomiques, sur le fait que les nombres constructibles forment un corps stable par racine carrée, et sur les corps de rupture pour ce développement ! Sinon, connaître un peu de théorie de Galois permet d'avoir du recul sur la preuve de la constructibilité de $e^{\frac{2i\pi}{p}}$ lorsque $p$ est premier de Fermat.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Attention à comment vous rédigez la construction des intervalles de confiance asymptotiques ! En effet, on divise par une variable aléatoire qui s'annule avec probabilité non-nulle pour tout $n$ (bien qu'elle tende vers $0$) ! Sinon, le résultat est vraiment central et mérite un développement, même s'il n'est pas forcément compliqué à montrer grâce au théorème de Lévy (qui, lui, est plus dur à montrer). Ne vous privez pas de l'utilisation du logarithme complexe ! C'est au programme et ça simplifie quand même beaucoup la preuve !

    PS : J'ai mis qu'on prouve une version faible du théorème de Lévy. C'est bien le cas ! Le théorème de Lévy le plus général dit que si la suite des fonctions caractéristiques $\varphi_{X_n}$ converge simplement vers une fonction $\varphi$ bornée telle que $\varphi(0) = 1$ et qui est continue en $0$, alors il existe une variable aléatoire $X$ définie sur le même espace de probabilité que les variables $X_n$ telle que $X_n$ converge en loi vers $X$ ! Cela utilise le théorème de Prokhorov, donc c'est dur !
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Je ne sais pas qui a mis ce développement sur agreg-maths mais en tous cas je suis triste qu'il n'ait ni références ni pdf, alors j'ai cherché et trouvé des références, et rédigé un pdf. Ce résultat est très joli (et pas forcément très dur ! C'est juste un théorème spectral appliqué à $A^*A$ !) et conviendra très bien aux habitué.e.s d'algèbre linéaire numérique. J'ai également rajouté le théorème d'Eckart-Young, qui dit la chose suivante : si $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})$ a pour SVD $U\Sigma V^*$, alors en notant, pour $k \in[\![1,\mathrm{rg}(A)]\!]$, $A_k := U\Sigma_k V^*$, où $\Sigma_k$ correspond à la matrice $\Sigma$, où on a remplacé les valeurs singulières $\sigma_{k+1},\ldots,\sigma_{\mathrm{rg(A)}}$ par $0$, alors $A_k$ vérifie :
    \[
    \vert\!\vert\!\vert A - A_k \vert\!\vert\!\vert_2 = \min_{\substack{B \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K}) \\ \mathrm{rg}(B) = k}}\vert\!\vert\!\vert A - B \vert\!\vert\!\vert_2,
    \]
    où $\vert\!\vert\!\vert \cdot \vert\!\vert\!\vert_2$ désigne la norme subordonnée aux normes euclidiennes au départ et à l'arrivée.
    Ce résultat est (était ?) très utilisé pour la compression de données ! Garder les plus grandes valeurs principales revient à garder les "directions de plus grandes tendances" dans la matrice : on enlève de l'information que l'on peut juger superflue.
  • Références :
  • Fichier :

Ses plans de leçons :