Développement : Quelques ordres moyens

Détails/Enoncé :

Un ordre moyen de $f : \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$ est une fonction $g : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ mesurable telle que $\sum_{n \leq x } \sim \int_0^x g(t)dt$ pour $x \to +\infty$.
Un ordre moyen de $\sigma(n)=\sum_{d|n} d$ est $x \mapsto \frac{\pi^2}{6}x$, et $\sum_{n \leq x} \sigma_n = \frac{\pi^2}{12}x^2 + O(xlog(x))$.
Un ordre moyen de l'indicatrice d'Euler $\varphi$ est $x \mapsto \frac{6}{\pi^2}x$, et $\sum_{n \leq x} \sigma_n = \frac{3}{\pi^2}x^2 + O(xlog(x))$.

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