Leçon 230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

(2023) 230

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.) Dans cette leçon, il faut se garder de proposer un interminable catalogue de propriétés et de "règles" illustrées de quelques rares exemples triviaux (Riemann, Bertrand). Mieux vaut se limiter à quelques résultats fondamentaux bien choisis et mis en perspective, et accompagnés de quelques exemples significatifs. Plutôt que de se limiter à la seule étude de la convergence de séries, les candidats pourront par exemple s'intéresser à l'estimation de sommes partielles (pour laquelle la comparaison entre somme et intégrale, en présence ou non de monotonie, est un outil particulièrement efficace), à l'étude asymptotique de suites récurrentes (si possible autres que $u_{n+1} = \sin(u_n)$), ou encore à l'itération d'une fonction régulière au voisinage d'un point fixe. L'utilisation de séries entières ou de séries de Fourier pour calculer la somme de certaines séries, le calcul de l'espérance d'une variable aléatoire discrète fournissent également de riches thèmes d'étude. Les candidats solides pourront s'intéresser aux procédés de sommation des séries divergentes (qui interviennent naturellement dans la théorie des séries de Fourier, entre autres) ainsi qu'aux théorèmes taubériens qui s'y rapportent.

(2019 : 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.) De nombreux candidats commencent leur plan par une longue exposition des conditions classiques assurant la convergence ou la divergence des séries numériques. Sans être hors sujet, cette exposition ne doit pas former l’essentiel de la matière de la leçon. Un thème important de la leçon est en effet le comportement asymptotique des restes et sommes partielles (équivalents, développements asymptotiques — par exemple pour certaines suites récurrentes — cas des séries de Riemann,comparaison séries et intégrales, ...). Trop de présentations manquent d’exemples. $\\$ On peut aussi s’intéresser à certaines sommes particulières, que ce soit pour exhiber des nombres irrationnels (voire transcendants), ou mettre en valeur des techniques de calculs non triviales (par exemple en faisant appel aux séries de Fourier ou aux séries entières). L’utilisation des calculs de séries numériques en théorie des probabilités peut fournir des exemples pertinents illustrant cette leçon. $\\$ Enfin, si le jury apprécie que le théorème des séries alternées (avec sa version sur le contrôle du reste) soit maîtrisé, il rappelle aussi que ses généralisations possibles utilisant la transformation d’Abel trouvent toute leur place dans cette leçon.
(2017 : 230 - Séries et de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.) De nombreux candidats commencent leur plan par une longue exposition des conditions classiques assurant la convergence ou la divergence des séries numériques. Sans être hors sujet, cette exposition ne doit pas former l’essentiel de la matière de la leçon. Un thème important de la leçon est en effet le comportement asymptotique des restes et sommes partielles (équivalents, développements asymptotiques — par exemple pour certaines suites récurrentes — cas des séries de Riemann, comparaison séries et intégrales,...). Le manque d’exemples est à déplorer. On peut aussi s’intéresser à certaines sommes particulières, que ce soit pour exhiber des nombres irrationnels (voire transcendants), ou mettre en valeur des techniques de calculs non triviales (par exemple en faisant appel aux séries de Fourier ou aux séries entières). Enfin le jury apprécie que le théorème des séries alternées (avec sa version sur le contrôle du reste) soit maîtrisé, mais il rappelle aussi que la transformation d’Abel trouve toute sa place dans cette leçon.
(2016 : 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples. ) De nombreux candidats commencent leur plan par une longue exposition des conditions classiques assurant la convergence ou la divergence des séries numériques. Sans être hors sujet, cette exposition ne doit pas former l’essentiel de la matière de la leçon. Le thème central de la leçon est en effet le comportement asymptotique des restes et sommes partielles (équivalents, développements asymptotiques — par exemple pour certaines suites récurrentes — cas des séries de Riemann, . . .). On peut aussi s’intéresser à certaines sommes particulières, que ce soit pour exhiber des nombres irrationnels (voire transcendants), ou mettre en valeur des techniques de calculs non triviales (par exemple en faisant appel aux séries de Fourier ou aux séries entières). Enfin le jury apprécie que le théorème des séries alternées (avec sa version sur le contrôle du reste) soit maîtrisé, mais on rappelle aussi que la transformation d’Abel trouve toute sa place dans cette leçon.
(2015 : 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.) De nombreux candidats commencent leur plan par une longue exposition des conditions classiques assurant la convergence ou la divergence des séries numériques. Sans être véritablement hors sujet, cette exposition ne doit pas former l'essentiel de la matière de la leçon. Le thème central de la leçon est en effet le comportement asymptotique des restes et sommes partielles (équivalents, ... ) et leurs applications diverses, comme par exemple des résultats d'irrationalité, voire de transcendance. Enfin on rappelle que la transformation d'Abel trouve toute sa place dans cette leçon.
(2014 : 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.) De nombreux candidats commencent leur plan par une longue exposition des conditions classiques assurant la convergence ou la divergence des séries numériques. Sans être véritablement hors sujet, cette exposition ne doit pas former l'essentiel du plan. Le thème central de la leçon est en effet le comportement asymptotique des restes et sommes partielles (équivalents, etc...) et leurs applications diverses, comme par exemple des résultats d'irrationalité, voire de transcendance. Enfin on rappelle que la transformation d'Abel trouve toute sa place dans cette leçon.

Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Plan sur lequel je suis passé en oral blanc de milieu d'année 2022.
    Les deux références utilisées sont à la fin du plan.
  • Référence :
  • Fichier :

2023 : Leçon 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.


2020 : Leçon 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.


2018 : Leçon 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.


2017 : Leçon 230 - Séries et de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.


2016 : Leçon 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.


Retours d'oraux :

2023 : Leçon 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

  • Leçon choisie :

    230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

  • Autre leçon :

    234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Expression des zeta(2k)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'ai réussi à faire le dev en 15 minutes, modulo un $(-1)^k$ oublié, que j'ai corrigé dès la fin de mes 15 minutes.
    Questions :

    - À un moment tu as dit « multiplier par le conjugué » tu es sûr ? (Oui, c'était le conjugué en termes de fraction, pas de nombres complexes.
    Petite question pour voir si je connaissais mon dev, à mon avis)
    - Pourquoi le théorème de Dirichlet s'applique ici ? (n'ayant pas trouvé d'énoncé de Dirichlet pour les fonctions $C^1$ par morceaux, j'ai pris l'énoncé de Gourdon : on m'a demandé pourquoi C1 par morceaux implique la condition de Gourdon. Je n'ai pas su répondre. Erreur)
    - Existe-t-il une série $u_n$ telle que pour tout $p$ dans $\mathbb{N}$, $\sum u_n^p$ converge, mais $\sum u_n$ n'est pas absolument convergente ? (j'ai tenté quelque chose, ils m'ont dit de regarder mon plan et l'exemple du Gourdon pour la règle d'Abel… j'ai écrit que la série $e^{inθp} / n^{αp}$ converge pour tout p par le lemme d'Abel, ils m'ont demandé pour quels θ, j'ai dit $θ \not\in 2\pi/p\mathbb{Z}$, ils me demandaient si ça existait, j'ai dit oui, ils étaient pas convaincus et sont passés à autre chose)
    - Donnez un contre-exemple au théorème $u_n \~ v_n \implies \sum u_n \~ \sum v_n$ lorsque les suites sont de signe quelconque.
    J'ai donné l'exemple du Hauchecorne, que j'avais lu durant la préparation et que j'ai détaillé, ils sont passés à autre chose.
    - Soit A la somme de la série $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$. Peut-elle être égale à $0$ ?
    J'ai tenté des trucs, ils m'ont demandé de séparer pairs et impairs, je ne savais pas quoi faire après, le temps était écoulé.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Trois personnes (2 mecs, une femme).
    La femme était silencieuse, souriante, a posé une question. L'homme à gauche acquiesait lorsque je décrivais les grandes étapes de mon dev, puis m'a posé la plupart des questions.
    Celui-ci au milieu rappelait le cadre mais n'a pas beaucoup parlé après, surtout pour gérer le temps et leur dire de passer à autre chose.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    La présidente du jury est très sympathique, elle m'a beaucoup souri. Elle a fait le tour des valises et a interdit beaucoup de bouquins, un quart de la salle ne semblait pas au courant de la règle. Isenmann-Pécatte était bien interdit. Elle ne savait pas si elle interdisait « 66 leçons pour l'agreg » à quelqu'un, puis elle l'a interdit.
    Les appariteurs et apparitrices étaient un peu perdus, c'était le premier jour d'oral. Ils ont oublié de photocopier une des trois pages du plan de quelqu'un dans la salle, et failli oublier de ramasser le plan de quelqu'un. Bien vérifier, donc, avant de monter dans les salles de passage !

    Durant l'oral, j'ai demandé si j'avais droit à la « minute », en référence à un temps de relecture du dev entre les 6 min d'intro et les 15 min du développement, que la Présidente du Jury a annoncé à Paris vouloir mettre en place à partir de cette année. Le jury n'était pas au courant. J'ai donc passé une minute à parler de ça… lorsqu'ils m'ont dit que je pouvais la prendre, je n'ai pas osé perdre plus de temps. Ce détail a été vu avec la Présidente du jury lors d'un entretien à l'issue de mes trois jours d'épreuve. Nul doute que les consignes seront plus claires pour les prochaines sessions.

    Bien regarder l'heure !! Et avoir une montre numérique, durant l'oral on oublie l'heure qu'on avait noté sur le cadran.
    Les chemises c'est sympa mais pas à manche longue, j'arrivais pas à voir ma montre sauf à bien remonter la manche.

  • Note obtenue :

    8.25


2019 : Leçon 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

  • Leçon choisie :

    230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

  • Autre leçon :

    215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Expression des zeta(2k)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - J'ai eu des questions sur le développement (tracer la fonction phi, énoncé le théorème de Dirichlet et une discussion sur les fonctions continues par morceaux). J'ai eu un peu de mal sur la fin donc ils sont passés à autre chose.
    - Donner un équivalent du reste de la série de Riemann (grâce au théorème comparaison séries/intégrales).
    - La preuve du critère de Cauchy. J'avais un peu de mal aux questions précédentes donc ils m'ont posé une question un peu plus facile.
    - La preuve de l'équivalent de la série harmonique. Je ne l'avais pas préparé, le jury m'a guidé et j'étais assez réactive à leurs indications.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury n'était pas du tout méchant, il essayait vraiment de m'aider.
    J'ai assisté à un oral la veille, et le jury adapte les questions selon le niveau du candidat.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    3h c'est très court pour préparer la leçon, on a pas le temps de faire un plan trop ambitieux...
    Il faut vraiment bien connaitre ses développements, pour ne pas perdre du temps.
    Le but est de vérifier qu'on maitrise les bases.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.