Développement : Formule d'Euler-Maclaurin et série harmonique

Détails/Enoncé :

On démontre la formule d'Euler-Maclaurin puis on l'applique à $f(t)=\frac 1 t $ pour obtenir le développement asymptotique de la série harmonique.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Tout est pris dans Gourdon à différents endroits pour obtenir un développement asymptotique des sommes partielles de la série harmonique à tout ordre. J'ai changé quelques arguments et regroupé ce dont on a besoin pour le résultat final mais il n'y a rien d'original dans cette version. Attention aux coquilles
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    Ce développement a le gros avantage de très bien se recaser dans 224 ! Et même dans 230 en prime !
    Sa difficulté repose dans son caractère très calculatoire, mais une fois qu'on s'est entraîné plusieurs fois, il n'est pas difficile. Cependant, il faut bien maîtriser tout ce qui tourne autour des polynômes et nombres de Bernoulli (d'où ils viennent ? Quelles sont leurs propriétés ? Comment les démontrer ?) Tout est dans le Gourdon.
    A la fin on affirme que $\gamma_r$ ne dépend pas de $r$ car on sait que : $H_n=\ln(n)+\gamma+o(1)$, mais il faut savoir démontrer ce fait (voir bas de la 2e page). Je n'avais jamais le temps de le loger dans les 15 minutes, déjà qu'il faut pas mal se dépêcher pour faire tout tenir...
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    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Calcul intégral, Candelpergher (utilisée dans 33 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 74 versions au total)