Profil de Méthivier

Isomorphisme entre PSL2(C) et SO3(C)

Développement :
Isomorphisme entre PSL2(C) et SO3(C)
Remarque :
J'ai détaillé quelques points passés sous silence dans le H2G2. Le développement n'est finalement pas si long mais il faut être un peu familier avec le langage des sous variétés. Il y a sans doute des coquilles
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- iso_groupes_lie.pdf

Automorphismes de Sn

Développement :
Automorphismes de Sn
Remarque :
Le Perrin est vraiment elliptique sur les parties combinatoires que j'ai donc détaillé, mais les preuves sont de mon cru et elles ne sont sans doute pas minimales. Il y a aussi quelques coquilles dans le Perrin que j'ai corrigé mais d'autres ont pu s'y glisser.
Référence :
- Cours d'algèbre , Perrin
Fichier :
- automorphisme_Sn.pdf

Décomposition polaire

Développement :
Décomposition polaire
Remarque :
Du grand classique, je rajoute une petite application aux composantes connexes de GL(n, R) parce que la démonstration seul de l'homéomorphismes est sans doute un peu courte. Attention aux éventuelles coquilles
Référence :
- Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard
Fichier :
- decomp_polaire.pdf

Dimension du commutant

Développement :
Dimension du commutant
Remarque :
Rien de neuf dans ma version mais elle est là. On utilise l'invariance du rang par extension de corps et le fait qu'un endomorphisme dont le polynôme minimal est égal au polynôme caractéristiques est cyclique
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- dimension_commutant.pdf

Formule d'Euler-Maclaurin et série harmonique

Développement :
Formule d'Euler-Maclaurin et série harmonique
Remarque :
Tout est pris dans Gourdon à différents endroits pour obtenir un développement asymptotique des sommes partielles de la série harmonique à tout ordre. J'ai changé quelques arguments et regroupé ce dont on a besoin pour le résultat final mais il n'y a rien d'original dans cette version. Attention aux coquilles
Référence :
- Analyse , Gourdon
Fichier :
- dl_asym_serie_harmonique.pdf

Polynômes irréductibles sur Fq

Développement :
Polynômes irréductibles sur Fq
Remarque :
On démontre un équivalent du nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré fixé sur F_q. On a besoin de la formule d'inversion de Möbius que je démontre en toutes généralités dans un lemme préliminaire. On démontre au passage qu'il existe des polynômes unitaires irréductibles de tout degré sur F_q. Attention aux coquilles.
Référence :
- Exercices mathématiques , Francinou, Gianella
Fichier :
- equivalent_pol_Fq.pdf

Étude de la fonction Gamma sur la droite réelle

Développement :
Étude de la fonction Gamma sur la droite réelle
Remarque :
On caractérise la fonction Gamma. Pour démontrer la log convexité de Gamma, je fais de la dérivation sous le signe intégral comme dans Gourdon pour que cela rentre dans les leçons concernées. Rudin le fait plus simplement avec Hölder, je ne sais pas si cela peut m'être reproché. Après, je suis globalement la preuve de Rudin pour l'unicité. C'est un très joli résultat qu'on obtient de manière totalement étonnante. Attention aux coquilles
Références :
- Principes d'analyse mathématiques , Rudin
- Analyse , Gourdon
Fichier :
- fonction_Gamma.pdf

Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

Développement :
Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières
Remarque :
Presque un copié collé du Queffélec et Queffélec. Je démontre le lemme de Hadamard en préliminaire qui est utilisé dans la preuve. Encore un très joli résultat assez plaisant à démontrer. Attention aux coquilles.
Référence :
- Analyse complexe et applications, Martine Queffélec, Hervé Queffélec
Fichier :
- indecomposabilite_Poisson.pdf

Théorème de Lie-Kolchin

Développement :
Théorème de Lie-Kolchin
Remarque :
Je démontre tout ce dont on a besoin et tout est fait dans le livre de Chambert-Loir. Je pense qu'il n'est pas possible de tout faire le jour de l'oral et j'admettrai probablement la cotrigonalisation dans le cas commutatif. Bien travailler la logique du développement, comprendre ce que l'on démontre et pourquoi cela donne le résultat. Une fois qu'on a bien compris, ça déroule plutôt bien et c'est certifié sans calcul. Attention aux coquilles
Référence :
- Algèbre corporelle, Antoine Chambert-Loir
Fichier :
- lie_kolchin.pdf

Lemme de Morse

Développement :
Lemme de Morse
Remarque :
Pas grands choses à dire si ce n'est que ma version est plus détaillée que celle faite dans Rouvière mais j'ai évidemment tout calqué sur lui. Attention aux coquilles
Référence :
- Petit guide de calcul différentiel , Rouvière
Fichier :
- lemme_Morse.pdf

Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini

Développement :
Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini
Remarque :
J'ai détaillé les arguments donnés par Perrin, notamment pour le troisième isomorphisme qui mérite de regarder d'un peu plus près F_4 pour comprendre pourquoi SL(2, F_4) = PSL(2, F_4) = PGL(2, F_4). Attention aux probables nombreuses coquilles
Référence :
- Cours d'algèbre , Perrin
Fichier :
- iso_exceptionnels.pdf

Morphismes continus du cercle dans GLn(R)

Développement :
Morphismes continus du cercle dans GLn(R)
Remarque :
J'ai changé quelques arguments du FGN pour en donner qui me semblent plus naturels. Mais ça n'engage que moi, surtout que les idées sont les mêmes. Attention aux éventuelles coquilles.
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- morphismes_continus_S1_GLnR.pdf

Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

Développement :
Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)
Remarque :
Version tiré du Rombaldi, je démontre juste pas la continuité de $\phi$ de la même façon, je préfère me passer d'écritures matricielles quand on le peut. Attention aux coquilles
Référence :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- kakutani_sg_compact_GL.pdf

Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices positives irréductibles et application aux chaînes de Markov

Développement :
Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices positives irréductibles et application aux chaînes de Markov
Remarque :
Je me suis inspiré du document de Matoumatheux pour l'idée du développement mais je n'ai pas spécialement suivi sa preuve. En fait je pense que ça fait deux développements et non un. Pour la partie Perron Frobenius, je pense c'est un bon dev. En revanche pour la partie chaine de Markov, j'en suis pas si sûr. J'ai vraiment pas beaucoup de recul sur ce que l'on démontre et je sais pas si ça a un quelconque intérêt. Attention aux coquilles
Références :
Fichier :
- Perron_Frobenius_mesure_invariante.pdf

Théorème du min-max de Fenchel-Rockafellar

Développement :
Théorème du min-max de Fenchel-Rockafellar
Remarque :
Je poste ma version même si elle n'apporte sans doute pas grand chose par rapport à celle de Matoumatheux et qu'elle suit de très près la référence. J'ai juste modifié la deuxième partie de la preuve du lemme pour faire quelque chose de plus naturel pour moi. Attention aux coquilles
Référence :
- Analyse fonctionelle , Brézis
Fichier :
- min-max_fenchel_rockafellar.pdf

Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)

Développement :
Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)
Remarque :
On calcule les intégrales de Fresnel en passant par les sommes de Gauss et les séries de Fourier. Comme d'habitude je suis d'assez près la référence qui se passe de justifier la semi-convergence des intégrales mais je suis pas sûr de voir en quoi ce qu'il fait permet de s'en passer. Alors je la démontre à part... C'est un peu nul comme développement mais ça se recase très bien
Référence :
- Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
Fichier :
- integrales_fresnel.pdf

Ellipsoïde de John Loewner

Développement :
Ellipsoïde de John Loewner
Remarque :
Une version parmi tant d'autres, sans originalité. Il est possible de faire une preuve sans supposer l'ellipsoïde centrée en l'origine mais c'est plus dur (surtout pour l'unicité) et j'ai pas trouvé de réf alors j'ai abandonné. Attention aux coquilles
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- ellipsoide_loewner.pdf

Fonctions caractéristiques et moments

Développement :
Fonctions caractéristiques et moments
Remarque :
Je fais la preuve classique du Ouvrard et j'enchaîne sur le TCL (en supposant Paul Lévy). La version n'a pas grand chose d'originale si ce n'est pour la partie TCL où je passe par le log complexe, ce que beaucoup de gens semblent ne pas faire. Attention aux coquilles
Références :
- Probabilités, Barbe-Ledoux
- Probabilités 2 , Ouvrard
Fichier :
- TCL_moments.pdf

Condition de cyclicité des (Z/nZ)^x

Développement :
Condition de cyclicité des (Z/nZ)^x
Remarque :
J'ai modifié un argument du Perrin pour ne pas avoir à parler de produit semi-direct mais pour le reste tout est tiré tel quel. Je pense qu'on a pas le temps de tout faire, faut un peu faire son marché. Attention aux coquilles
Référence :
- Cours d'algèbre , Perrin
Fichier :
- cyclicite_Zn.pdf

Profil de Méthivier

Informations :

Ses versions de développements :

Isomorphisme entre PSL2(C) et SO3(C)

Automorphismes de Sn

Décomposition polaire

Dimension du commutant

Formule d'Euler-Maclaurin et série harmonique

Polynômes irréductibles sur Fq

Étude de la fonction Gamma sur la droite réelle

Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

Théorème de Lie-Kolchin

Lemme de Morse

Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini

Morphismes continus du cercle dans GLn(R)

Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices positives irréductibles et application aux chaînes de Markov

Théorème du min-max de Fenchel-Rockafellar

Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)

Ellipsoïde de John Loewner

Fonctions caractéristiques et moments

Espace de Bergman du disque unité

Enveloppe convexe de On(R)

Algorithme de Berlekamp

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Condition de cyclicité des (Z/nZ)^x

Ses plans de leçons :