Développement : Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

Détails/Enoncé :

Soit $Z$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda$, soient $X$ et $Y$ deux variables indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$ telles que $X+Y=Z$ ; alors $X$ et $Y$ suivent des lois de Poisson.

Recasages pour l'année 2024 :

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    Selon moi : pour les leçons 243, 245, 261, 264, 266 faute de mieux.
    Non testé en oral devant Jury.
    Si le développement est trop rapide, on peut songer à montrer le théorème préliminaire (pour la leçon 245), ou expliquer pourquoi si X et Y sont indépendantes de loi de Poisson, la somme suit encore une loi de Poisson (faites le avec les séries génératrices)
    L'argument sur les a_n =0 si n>=2 est inspiré de Queffélec mais j'ai simplifié les arguments. Les Queffélec utilisent un théorème d'Hadamard qu'ils démontrent plus tôt d'une manière similaire
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