Développement : Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

Détails/Enoncé :

Soit $Z$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda$, soient $X$ et $Y$ deux variables indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$ telles que $X+Y=Z$ ; alors $X$ et $Y$ suivent des lois de Poisson.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Selon moi : pour les leçons 243, 245, 261, 264, 266 faute de mieux.
    Non testé en oral devant Jury.
    Si le développement est trop rapide, on peut songer à montrer le théorème préliminaire (pour la leçon 245), ou expliquer pourquoi si X et Y sont indépendantes de loi de Poisson, la somme suit encore une loi de Poisson (faites le avec les séries génératrices)
    L'argument sur les a_n =0 si n>=2 est inspiré de Queffélec mais j'ai simplifié les arguments. Les Queffélec utilisent un théorème d'Hadamard qu'ils démontrent plus tôt d'une manière similaire
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    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.

    ATTENTION ! Il y a beaucoup d'erreurs sur les versions de ce développement disponibles sur agreg maths, dues principalement à des tentatives d'adaptation du lemme d'Hadamard.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse complexe et applications, Martine Queffélec, Hervé Queffélec (utilisée dans 28 versions au total)