Théorème de Montel

On montre la compacité avec précompact + complet dans cette version.

Formule des compléments

Je fais un changement de variable pour avoir un contour plus simple.

Construction de l'exponentielle et de Pi

Démontrer seulement certains points suivant la leçon concernée.

Théorème de Montel

La preuve du théorème de Montel (à la Rudin) est belle mais trop courte pour constituer à elle seule un développement; j'ai rajouté la construction d'une suite exhaustive de compacts (cf. le Queffélec-Queffélec pour ça). On pourrait aussi rajouter le théorème d'Ascoli mais là on manquerait peut-être de temps au contraire. On peut aussi faire la preuve du théorème de Montel dans le Queffélec-Queffélec, mais je l'aime moins que celle du Rudin personnellement, c'est une question de goût.

Prolongement de la fonction Gamma d'Euler

En plus du prolongement méromorphe de \Gamma, on démontre la formule de Weierstrass pour en déduire que 1 / \Gamma est une fonction entière.

Espace de Bergman du disque unité

Il faut aller assez vite pour tout faire en 15 minutes mais ça rentre avec de l'entraînement.

Calcul de l'intrégale de 1/1+x^n

Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

Développement 2.9 de https://perso.ens-lyon.fr/benjamin.fleuriault/agreg/dev.pdf

Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

Presque un copié collé du Queffélec et Queffélec. Je démontre le lemme de Hadamard en préliminaire qui est utilisé dans la preuve. Encore un très joli résultat assez plaisant à démontrer. Attention aux coquilles.

Formule des compléments

Un développement vraiment pas simple mais on est très content de le faire quand on l'a travaillé ! Il met en jeu beaucoup d'analyse complexe (cool) et de changements de variable (moins cool). Mon document donne la preuve dans les grandes lignes, il manque beaucoup de passages techniques, mais sans malice (ça ne me semble pas pertinent d'écrire 2 pages de changements de variable).
Bref, il est sympa mais pas simple !

Je le prends pour les leçons 235, 236, 239, 244 et 245 !

On trouvera le lemme vers la page 234 et la preuve du théorème page 183 (c'est la solution de l'exercice 5 qui vient quelques pages avant).

Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

Je le mets pour 243, 245, 261, 264, 266. Tout est dans Queffelec-Queffelec avec un lemme préliminaire puis le théorème.

Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

*La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

*Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.

ATTENTION ! Il y a beaucoup d'erreurs sur les versions de ce développement disponibles sur agreg maths, dues principalement à des tentatives d'adaptation du lemme d'Hadamard.

Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.

Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com

Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

Personnellement, je ne l'ai recasé que dans les leçons de probas car c'est celles que j'ai faites à la fin de l'année et c'était le dev qui me manquait, mais je suis parfaitement d'accord avec les autres recasages (241, 243, 245).
Il faut bien s'entraîner plusieurs fois dessus, pour être sûr qu'on a bien tous les arguments. Attention, sur la 2e page il manquait des arguments, que j'ai reportés à la fin (petite étoile noire).

Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

Je suis passé sur ce développement le jour J pour la leçon 264. J'ai pu tout faire tenir en 15 minutes.
On m'a demandé l'idée de la preuve du théorème d'analyse complexe que j'ai admis, je ne savais pas du tout et ça ne m'a pas empêché d'avoir 18 donc pas de panique.
On m'a aussi posé une ou deux questions assez basiques sur les séries entières.

Espace de Bergman du disque unité

Très bon développement qui se recase très bien. En plus de la preuve, j'ai ajouté des compléments sur la topologie de l'espace des fonctions holomorphes sur un ouvert.
Le lien vers le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.

Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.

Je n'aborde pas les fonctions méromorphes parce que le plan est déjà assez dense, je trouve. Les espaces de Bergman constituent un développement pour moi, mais ils tombent comme un cheveu dans la soupe dans mon plan. On peut enlever la partie correspondante.

Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

Fortement inspiré des autres plans sur le site.

Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

Leçon assez longue, j'ai fait le choix de ne pas parler de séries de Laurent et du théorème des résidus, mais on peut aller plus vite sur le début et évoquer ces thèmes.

Connexité. Exemples d'applications.

Plan testé devant la classe et grosso-modo approuvé. On peut y rajouter des équa-diffs je pense.

Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Voici un plan possible pour la leçon 243.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.

Voici un plan possible pour la leçon 245.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Utilisation de la notion d'indépendance en probabilités.

Voici un plan possible pour la leçon 266.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

Leçon très fortement inspirée de celle d'un certain Tintin.... Qui l'a d'ailleurs très bien présentée en classe :)
Il faut que les théorèmes "classiques" de continuité, dérivabilité, holomorphie sous l'intégrale y soient, accompagnés d'exemples. Et après il semble pertinent de développer la convolution, les approximations de l'unité et la transformée de Fourier dans $L^1(\mathbb{R})$. Par contre, je ne pense pas que parler de la transformée de Fourier dans $L^2(\mathbb{R})$ soit obligatoire... D'autant qu'elle n'est pas définie par une intégrale, mais on peut la motiver par le fait que c'est un "prolongement" de celle sur $L^1(\mathbb{R})$.
De même, les probas font une bonne application mais on peut sûrement les remplacer si on veut éviter à tout prix d'en parler...
Le Zuily-Queffelec (livre à utiliser le moins possible de mon point de vue) ne sert que pour les probabilités, on y trouve les preuves de Lévy, du TCL... Mais qu'il faut quand même remanier car elles utilisent des outils surpuissants pour rien... Voir ma version du développement si vous voulez le faire.

Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.

Cette leçon vient compléter la 243, on y met beaucoup plus l'accent sur l'aspect "holomorphe". Je conseillerais d'utiliser plus le Tauvel que le Queffelec-Queffelec, mais c'est selon ses sensibilités.
J'aurais sûrement dû mettre plus de choses sur le Log complexe, là encore, le Tauvel est mieux là-dessus. Il y a une multitude de versions des théorèmes de Cauchy (triangulaire, convexe, simplement connexe, homologique...) j'ai mis les versions les plus simples, qui suffisaient à établir l'équivalence holomorphe-analytique...

/!\ J'ai changé mon DEV1 après coup car il était trop court : à la place, j'ai mis le calcul de l'intégrale par la méthode des résidus (voir ma leçon 236), qui se placerait en III-2) dans leçon, et qui deviendrait donc le DEV2...
Evidemment, les résultats de mon ex-DEV1 doivent obligatoirement figurer dans la leçon, et c'est bien de connaître les déomonstrations.

La partie sur les produits infinis n'est pas obligatoire, mais je pense que c'est pas mal de mentionner le théorème de Weierstrass sur la convergence dans $\mathcal{H}(\Omega)$, et de dire à quel point il est puissant : il suffit d'avoir la convergence uniforme sur tout compact pour que la limite soit holomorphe et en plus, toutes les dérivées convergent uniformément sur tout compact vers les dérivées de la limite ! On pouvait aussi parler de la topologie de cet espace, avec le théorème de Montel et le fait que la topologie de la convergence uniforme sur les compacts est métrisable mais pas normable (voir mes leçons 201 et 203, c'est un résultat assez avancé).
C'est une leçon très très vaste, on pourrait mettre plein d'autres choses... Je pense que pour cette leçon, faire des exercices est indispensable car ils peuvent être vite difficiles.

Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

Testé et approuvé par mon prof et devant la classe. Ne pas oublier de parler de fonctions holomorphes.