Analyse complexe et applications

Martine Queffélec, Hervé Queffélec

Utilisée dans les 9 développements suivants :

Formule des compléments
Construction de l'exponentielle et de Pi
Espace de Bergman du disque unité
Théorème de Montel
Prolongement de la fonction Gamma d'Euler
Propriétés de l'indice et application au calcul d'intégrale
Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières
Calcul de l'intrégale de 1/1+x^n
Théorème de Bloch

Utilisée dans les 16 leçons suivantes :

245 (2026) Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.
204 (2026) Connexité. Exemples d’applications.
243 (2026) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
266 (2026) Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.
239 (2026) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
241 (2026) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples
235 (2026) Problèmes d’interversion de symboles en analyse.
230 (2026) Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
261 (2026) Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.
264 (2026) Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
213 (2026) Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
102 (2026) Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
201 (2026) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
215 (2026) Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
219 (2026) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
236 (2026) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Utilisée dans les 21 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    La preuve du théorème de Montel (à la Rudin) est belle mais trop courte pour constituer à elle seule un développement; j'ai rajouté la construction d'une suite exhaustive de compacts (cf. le Queffélec-Queffélec pour ça). On pourrait aussi rajouter le théorème d'Ascoli mais là on manquerait peut-être de temps au contraire. On peut aussi faire la preuve du théorème de Montel dans le Queffélec-Queffélec, mais je l'aime moins que celle du Rudin personnellement, c'est une question de goût.
  • Références :
  • Développement :
  • Remarque :
    Un développement vraiment pas simple mais on est très content de le faire quand on l'a travaillé ! Il met en jeu beaucoup d'analyse complexe (cool) et de changements de variable (moins cool). Mon document donne la preuve dans les grandes lignes, il manque beaucoup de passages techniques, mais sans malice (ça ne me semble pas pertinent d'écrire 2 pages de changements de variable).
    Bref, il est sympa mais pas simple !

    Je le prends pour les leçons 235, 236, 239, 244 et 245 !

    On trouvera le lemme vers la page 234 et la preuve du théorème page 183 (c'est la solution de l'exercice 5 qui vient quelques pages avant).
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.

    ATTENTION ! Il y a beaucoup d'erreurs sur les versions de ce développement disponibles sur agreg maths, dues principalement à des tentatives d'adaptation du lemme d'Hadamard.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    - Preuve (pour s'échauffer) de $X \sim \mathcal{P}(\lambda),\, Y \sim \mathcal{P}(\mu),\, X \perp \!\!\! \perp Y \implies X+Y \sim \mathcal{P}(\lambda+\mu)$ ;
    - Preuve d'une sorte de réciproque : si $X \perp \!\!\! \perp Y$ sont des v.a. à valeurs dans $\mathbb{N}$ telles que $X+Y \sim \mathcal{P}(\lambda)$, alors $X$ et $Y$ suivent des lois de Poisson.

    Attention au fait que l'on inclus la loi $\delta_0$ dans les lois de Poisson (sinon il faudrait supposer $X$ et $Y$ non presque sûrement nulles, ce qui ne changerait rien au raisonnement). Attention aussi à la terminologie "indécomposable" qui rentre en contradiction avec la notion de lois décomposables (dont fait partie la loi de Poisson) présentée dans Appel "Mathématiques pour l'agrégation externe : probabilités".

    Leçons concernées : 243, 245, 261, 264, 266
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 36 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Cette leçon vient compléter la 243, on y met beaucoup plus l'accent sur l'aspect "holomorphe". Je conseillerais d'utiliser plus le Tauvel que le Queffelec-Queffelec, mais c'est selon ses sensibilités.
    J'aurais sûrement dû mettre plus de choses sur le Log complexe, là encore, le Tauvel est mieux là-dessus. Il y a une multitude de versions des théorèmes de Cauchy (triangulaire, convexe, simplement connexe, homologique...) j'ai mis les versions les plus simples, qui suffisaient à établir l'équivalence holomorphe-analytique...

    /!\ J'ai changé mon DEV1 après coup car il était trop court : à la place, j'ai mis le calcul de l'intégrale par la méthode des résidus (voir ma leçon 236), qui se placerait en III-2) dans leçon, et qui deviendrait donc le DEV2...
    Evidemment, les résultats de mon ex-DEV1 doivent obligatoirement figurer dans la leçon, et c'est bien de connaître les déomonstrations.

    La partie sur les produits infinis n'est pas obligatoire, mais je pense que c'est pas mal de mentionner le théorème de Weierstrass sur la convergence dans $\mathcal{H}(\Omega)$, et de dire à quel point il est puissant : il suffit d'avoir la convergence uniforme sur tout compact pour que la limite soit holomorphe et en plus, toutes les dérivées convergent uniformément sur tout compact vers les dérivées de la limite ! On pouvait aussi parler de la topologie de cet espace, avec le théorème de Montel et le fait que la topologie de la convergence uniforme sur les compacts est métrisable mais pas normable (voir mes leçons 201 et 203, c'est un résultat assez avancé).
    C'est une leçon très très vaste, on pourrait mettre plein d'autres choses... Je pense que pour cette leçon, faire des exercices est indispensable car ils peuvent être vite difficiles.
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Vous pourrez trouver tous mes développements, des plans et plus sur mon site : https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/anael.marit/agregation.html !

    J'ai choisi dans cette leçon de rester autant que possible dans des espaces mesurés abstraits, car le fait de développer des théorèmes abstraits de théorie de la mesure trouve de nombreuses applications en probabilités, mais aussi en analyse (en permettant par exemple de démontrer de façon simplifiée des théorèmes tels que l'approximation par convolution). J'ai défendu ce point de vue dès l'introduction du plan. Le jury a très fortement apprécié ce choix, qui d'après lui était original, mais a bien insisté sur le fait qu'il faut absolument avoir plusieurs applications dans un cadre abstrait, sinon il est nettement préférable de se restreindre à $R^d$ muni de la mesure de Lebesgue.

    Le plan contient quelques erreurs mais le jury ne m'en a pas vraiment tenu rigueur car je les ai rapidement corrigée à l'oral à leur demande :
    - dans le théorème de Fubini, c'est une simple implication et non une équivalence ((i) implique (ii) et (iii))
    - je l'ai corrigé sur le scan, mais j'avais écrit $L^1$ ou lieu de $L^\infty$ dans le théorème 18.iii

    Le jury a choisi le développement 1, qui consiste en une preuve peu usuelle du théorème d'holomorphie sous l'intégrale à l'aide du critère Morera et de la formule de Cauchy, avec une application au problème de moments en probabilités (un exemple d'application concrète de la théorie des intégrales à paramètres dans les espaces sigma-finis donc). Il a beaucoup apprécié l'originalité du développement, et ne m'a pas reproché le fait qu'il soit beaucoup plus simple que le deuxième (théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov). (Vous pouvez trouver le développement rédigé sur mon profil agreg maths ;))

    Voici les questions et éléments de discussion avec le jury dont je me souviens, pas forcément dans l'ordre. A la fin de ce (trop long) paragraphe, j'ai ajouté les éléments de réponse dont nous avons parlé avec le jury :
    1) énoncer le critère de Morera (utilisé pour le développement). Fonctionne-t-il quel que soit la nature de l'ouvert sur lequel est défini la fonction holomorphe ?
    2) dans la version proposée du développement, on n'a pas vraiment besoin que la loi de proba considérée soit à support compact. Donner une condition suffisante plus faible pour avoir le même résultat sans changer la démonstration.
    - Préciser l'application 23 (en particulier, en quoi est-ce un corollaire des théorèmes de régularisation ?)
    3) le théorème de Riesz-Fréchet-Kolomogorov (application 24) peut-il être mis en correspondance avec un autre critère de compacité ? En particulier, comment peut-on relier ses hypothèses à celles de cet autre théorème ? L'hypothèse (iii), dite d'équitension, se retrouve également en probabilités. Dans quel contexte ?
    4) Donner un exemple de "vraie" partie de $L^p$ pour laquelle on utilise le théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov pour montrer qu'elle est compacte. (Remarque : le jury a bien signifié qu'il FAUT savoir répondre à cette question si on veut présenter ce théorème, et bien sûr, il ne faut pas se contenter d'une partie qui est trivialement compacte et dont l'étude ne nécessite donc pas ce puissant théorème)
    5) Donner des exemples de fonctions "concrètes" définies par une intégrale à paramètre, et qui ont de vraies applications en maths
    6) Dans le lemme de Fatou (lemme 3), l'inégalité peut-elle être stricte ? Si oui, donner un exemple.
    7) Démontrer le théorème 18.ii et 18.iii
    8) Dans l'exemple 16, que se passe-t-il si l'une des deux variables n'admet pas de densité ? Et si aucune des deux n'en admet ?

    En conclusion, je pense avoir fait objectivement un plan très difficile par rapport à ce qui est attendu dans cette leçon, et qu'il n'est pas du tout nécessaire d'aller aussi loin (ce qu'a confirmé le jury lors des retours). Le jury a tout de suite posé des questions assez difficiles, qui allaient chercher plus loin que le programme (voire beaucoup plus loin lorsque la discussion nous a mené aux espaces de Sobolev et à la convolution des mesures) ; si ce degré d'abstraction vous intéresse, il faut vraiment l'avoir bien préparé en amont, en particulier les applications concrètes de la théorie abstraite (mon jury ne se serait pas contenté d'applications qui exploitent uniquement la théorie contre la mesure de Lebesgue au vu de la manière dont j'ai écrit mon plan) : pour ça, les probas sont vos amies (puisqu'on y passe notre temps à intégrer contre des mesures affreuses) !


    Elements de réponse :
    1) Le critère de Morera est effectivement valide quelque soit l'ouvert. On le démontre d'abord pour un ouvert convexe, puis on utilise le fait que l'holomorphie est une propriété locale et que $\mathbb C$ est localement convexe.
    2) Il suffit que la loi de proba en question admette un moment gaussien, c'est-à-dire qu'il existe $\epsilon > 0$ tel que $\exp(\epsilon x^2)$ soit intégrable contre $\mu$. Cette amélioration permet notamment d'appliquer le résultat à la loi normale !
    3) Ce théorème fait penser au théorème d'Ascoli. L'hypothèse (ii) est un analogue $L^p$ de l'hypothèse d'équicontinuité, tandis que l'hypothèse (iii) permet de palier au fait que nos fonctions n'ont plus à être définies sur un compact (on s'y ramène alors grâce à cette hypothèse qui signifie que la masse des fonctions de H se dissipe uniformément à l'infini). L'hypothèse (iii), dans le cas des probabilités, est équivalente à la propriété d'uniforme intégrabilité, qui sert par exemple pour le théorème de Vitali (on la retrouve également dans l'énoncé du théorème de Prokhorov, mais je l'ai découvert après l'oral).
    4) Toute partie équitendue bornée dans l'espace de Sobolev $W^{1, p}$ (pour la norme Sobolev) est compacte pour la topologie $L^p$. Bien entendu, la notion d'espace de Sobolev est hors-programme, mais je n'ai sincèrement rien trouvé de plus simple comme vraie application du théorème de RFK. C'est sciemment que je ne l'ai pas indiquée dans le plan, pour éviter les questions trop directes sur les espaces de Sobolev. Cela dit, une fois que je l'ai introduit, le jury m'a demandé de préciser la définition de la norme Sobolev et d'amorcer la démonstration.
    5) J'ai répondu la fonction gamma (qui est dans le plan), la fonction zeta (qu'on voit comme une intégrale contre la mesure de comptage) et la fonction bêta (en précisant que je ne sais pas me servir de celle-ci, mais qu'elle apparaît au moins dans la définition de la loi bêta en probas)
    6) La bosse glissante dessinée en annexe donne un exemple où l'inégalité est stricte.
    8) Cela marche toujours, mais on obtient la convolution d'une fonction contre une mesure (dont j'avais sciemment évité de parler dans le plan). Quand aucune des deux variables n'est à densité, c'est une convolution entre deux mesures de probas (c'est ce que j'ai répondu, en ajoutant que j'en avais seulement entendu parler mais que je ne sais pas vraiment le définir, ce qui n'a pas gêné le jury puisque la question allait chercher beaucoup plus loin que mon plan).
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