Remarque :
J'ai choisi dans cette leçon de rester autant que possible dans des espaces mesurés abstraits, car le fait de développer des théorèmes abstraits de théorie de la mesure trouve de nombreuses applications en probabilités, mais aussi en analyse (en permettant par exemple de démontrer de façon simplifiée des théorèmes tels que l'approximation par convolution). J'ai défendu ce point de vue dès l'introduction du plan. Le jury a très fortement apprécié ce choix, qui d'après lui était original, mais a bien insisté sur le fait qu'il faut absolument avoir plusieurs applications dans un cadre abstrait, sinon il est nettement préférable de se restreindre à $R^d$ muni de la mesure de Lebesgue.
Le plan contient quelques erreurs mais le jury ne m'en a pas vraiment tenu rigueur car je les ai rapidement corrigée à l'oral à leur demande :
- dans le théorème de Fubini, c'est une simple implication et non une équivalence ((i) implique (ii) et (iii))
- je l'ai corrigé sur le scan, mais j'avais écrit $L^1$ ou lieu de $L^\infty$ dans le théorème 18.iii
Le jury a choisi le développement 1, qui consiste en une preuve peu usuelle du théorème d'holomorphie sous l'intégrale à l'aide du critère Morera et de la formule de Cauchy, avec une application au problème de moments en probabilités (un exemple d'application concrète de la théorie des intégrales à paramètres dans les espaces sigma-finis donc). Il a beaucoup apprécié l'originalité du développement, et ne m'a pas reproché le fait qu'il soit beaucoup plus simple que le deuxième (théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov). (Vous pouvez trouver le développement rédigé sur mon profil agreg maths ;))
Voici les questions et éléments de discussion avec le jury dont je me souviens, pas forcément dans l'ordre. A la fin de ce (trop long) paragraphe, j'ai ajouté les éléments de réponse dont nous avons parlé avec le jury :
1) énoncer le critère de Morera (utilisé pour le développement). Fonctionne-t-il quel que soit la nature de l'ouvert sur lequel est défini la fonction holomorphe ?
2) dans la version proposée du développement, on n'a pas vraiment besoin que la loi de proba considérée soit à support compact. Donner une condition suffisante plus faible pour avoir le même résultat sans changer la démonstration.
- Préciser l'application 23 (en particulier, en quoi est-ce un corollaire des théorèmes de régularisation ?)
3) le théorème de Riesz-Fréchet-Kolomogorov (application 24) peut-il être mis en correspondance avec un autre critère de compacité ? En particulier, comment peut-on relier ses hypothèses à celles de cet autre théorème ? L'hypothèse (iii), dite d'équitension, se retrouve également en probabilités. Dans quel contexte ?
4) Donner un exemple de "vraie" partie de $L^p$ pour laquelle on utilise le théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov pour montrer qu'elle est compacte. (Remarque : le jury a bien signifié qu'il FAUT savoir répondre à cette question si on veut présenter ce théorème, et bien sûr, il ne faut pas se contenter d'une partie qui est trivialement compacte et dont l'étude ne nécessite donc pas ce puissant théorème)
5) Donner des exemples de fonctions "concrètes" définies par une intégrale à paramètre, et qui ont de vraies applications en maths
6) Dans le lemme de Fatou (lemme 3), l'inégalité peut-elle être stricte ? Si oui, donner un exemple.
7) Démontrer le théorème 18.ii et 18.iii
8) Dans l'exemple 16, que se passe-t-il si l'une des deux variables n'admet pas de densité ? Et si aucune des deux n'en admet ?
En conclusion, je pense avoir fait objectivement un plan très difficile par rapport à ce qui est attendu dans cette leçon, et qu'il n'est pas du tout nécessaire d'aller aussi loin (ce qu'a confirmé le jury lors des retours). Le jury a tout de suite posé des questions assez difficiles, qui allaient chercher plus loin que le programme (voire beaucoup plus loin lorsque la discussion nous a mené aux espaces de Sobolev et à la convolution des mesures) ; si ce degré d'abstraction vous intéresse, il faut vraiment l'avoir bien préparé en amont, en particulier les applications concrètes de la théorie abstraite (mon jury ne se serait pas contenté d'applications qui exploitent uniquement la théorie contre la mesure de Lebesgue au vu de la manière dont j'ai écrit mon plan) : pour ça, les probas sont vos amies (puisqu'on y passe notre temps à intégrer contre des mesures affreuses) !
Elements de réponse :
1) Le critère de Morera est effectivement valide quelque soit l'ouvert. On le démontre d'abord pour un ouvert convexe, puis on utilise le fait que l'holomorphie est une propriété locale et que $\mathbb C$ est localement convexe.
2) Il suffit que la loi de proba en question admette un moment gaussien, c'est-à-dire qu'il existe $\epsilon > 0$ tel que $\exp(\epsilon x^2)$ soit intégrable contre $\mu$. Cette amélioration permet notamment d'appliquer le résultat à la loi normale !
3) Ce théorème fait penser au théorème d'Ascoli. L'hypothèse (ii) est un analogue $L^p$ de l'hypothèse d'équicontinuité, tandis que l'hypothèse (iii) permet de palier au fait que nos fonctions n'ont plus à être définies sur un compact (on s'y ramène alors grâce à cette hypothèse qui signifie que la masse des fonctions de H se dissipe uniformément à l'infini). L'hypothèse (iii), dans le cas des probabilités, est équivalente à la propriété d'uniforme intégrabilité, qui sert par exemple pour le théorème de Vitali (on la retrouve également dans l'énoncé du théorème de Prokhorov, mais je l'ai découvert après l'oral).
4) Toute partie équitendue bornée dans l'espace de Sobolev $W^{1, p}$ (pour la norme Sobolev) est compacte pour la topologie $L^p$. Bien entendu, la notion d'espace de Sobolev est hors-programme, mais je n'ai sincèrement rien trouvé de plus simple comme vraie application du théorème de RFK. C'est sciemment que je ne l'ai pas indiquée dans le plan, pour éviter les questions trop directes sur les espaces de Sobolev. Cela dit, une fois que je l'ai introduit, le jury m'a demandé de préciser la définition de la norme Sobolev et d'amorcer la démonstration.
5) J'ai répondu la fonction gamma (qui est dans le plan), la fonction zeta (qu'on voit comme une intégrale contre la mesure de comptage) et la fonction bêta (en précisant que je ne sais pas me servir de celle-ci, mais qu'elle apparaît au moins dans la définition de la loi bêta en probas)
6) La bosse glissante dessinée en annexe donne un exemple où l'inégalité est stricte.
8) Cela marche toujours, mais on obtient la convolution d'une fonction contre une mesure (dont j'avais sciemment évité de parler dans le plan). Quand aucune des deux variables n'est à densité, c'est une convolution entre deux mesures de probas (c'est ce que j'ai répondu, en ajoutant que j'en avais seulement entendu parler mais que je ne sais pas vraiment le définir, ce qui n'a pas gêné le jury puisque la question allait chercher beaucoup plus loin que mon plan).
