Théorème de Montel

On montre la compacité avec précompact + complet dans cette version.

Formule des compléments

Je fais un changement de variable pour avoir un contour plus simple.

Construction de l'exponentielle et de Pi

Démontrer seulement certains points suivant la leçon concernée.

Théorème de Montel

La preuve du théorème de Montel (à la Rudin) est belle mais trop courte pour constituer à elle seule un développement; j'ai rajouté la construction d'une suite exhaustive de compacts (cf. le Queffélec-Queffélec pour ça). On pourrait aussi rajouter le théorème d'Ascoli mais là on manquerait peut-être de temps au contraire. On peut aussi faire la preuve du théorème de Montel dans le Queffélec-Queffélec, mais je l'aime moins que celle du Rudin personnellement, c'est une question de goût.

Prolongement de la fonction Gamma d'Euler

En plus du prolongement méromorphe de \Gamma, on démontre la formule de Weierstrass pour en déduire que 1 / \Gamma est une fonction entière.

Espace de Bergman du disque unité

Il faut aller assez vite pour tout faire en 15 minutes mais ça rentre avec de l'entraînement.

Calcul de l'intrégale de 1/1+x^n

Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

Développement 2.9 de https://perso.ens-lyon.fr/benjamin.fleuriault/agreg/dev.pdf

Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

Presque un copié collé du Queffélec et Queffélec. Je démontre le lemme de Hadamard en préliminaire qui est utilisé dans la preuve. Encore un très joli résultat assez plaisant à démontrer. Attention aux coquilles.

Formule des compléments

Un développement vraiment pas simple mais on est très content de le faire quand on l'a travaillé ! Il met en jeu beaucoup d'analyse complexe (cool) et de changements de variable (moins cool). Mon document donne la preuve dans les grandes lignes, il manque beaucoup de passages techniques, mais sans malice (ça ne me semble pas pertinent d'écrire 2 pages de changements de variable).
Bref, il est sympa mais pas simple !

Je le prends pour les leçons 235, 236, 239, 244 et 245 !

On trouvera le lemme vers la page 234 et la preuve du théorème page 183 (c'est la solution de l'exercice 5 qui vient quelques pages avant).

Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.

Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.

Je n'aborde pas les fonctions méromorphes parce que le plan est déjà assez dense, je trouve. Les espaces de Bergman constituent un développement pour moi, mais ils tombent comme un cheveu dans la soupe dans mon plan. On peut enlever la partie correspondante.

Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

Fortement inspiré des autres plans sur le site.

Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

Leçon assez longue, j'ai fait le choix de ne pas parler de séries de Laurent et du théorème des résidus, mais on peut aller plus vite sur le début et évoquer ces thèmes.