Développement : Théorème de Montel

Détails/Enoncé :

Énoncé : Soit $\Omega \subset \mathbb{C}$ un ouvert et $\mathcal{A}$ une partie de l'espace vectoriel $\mathcal{H}(\Omega)$ des fonctions holomorphes sur $\Omega$, muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de $\Omega$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
-- Pour tout $K\subset \Omega$ compact, il existe une constante $M_K \in \mathbb{C}_+^*$ telle que, pour tout $f \in \mathcal{A}$, $\|f\|_{\infty, K}\leq M_K$.
-- La partie $\mathcal{A}$ est relativement compacte.

Recasages pour l'année 2025 :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    La preuve du théorème de Montel (à la Rudin) est belle mais trop courte pour constituer à elle seule un développement; j'ai rajouté la construction d'une suite exhaustive de compacts (cf. le Queffélec-Queffélec pour ça). On pourrait aussi rajouter le théorème d'Ascoli mais là on manquerait peut-être de temps au contraire. On peut aussi faire la preuve du théorème de Montel dans le Queffélec-Queffélec, mais je l'aime moins que celle du Rudin personnellement, c'est une question de goût.
  • Références :
  • Auteur :
  • Remarque :
    J'ai rajouté le théorème de la représentation conforme, qui peut se faire si on passe quelques arguments (qu'il faut savoir remontrer tout de même !). C'est costaud mais ça marche bien.

    EDIT : j'ai rajouté un complément sur le théorème d'inversion globale holomorphe
  • Référence :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 212 versions au total)
Analyse complexe et applications, Martine Queffélec, Hervé Queffélec (utilisée dans 27 versions au total)
Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 70 versions au total)
Analyse Complexe, Amar, Mathéron (utilisée dans 25 versions au total)