Développement : Théorème de Montel

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Recasages pour l'année 2020 :

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  • Remarque :
    201, 203, 205, 245.

    A compléter éventuellement avec une application.

    Énoncé : Soit $\Omega \subset \mathbb{C}$ un ouvert et $\mathcal{A}$ une partie de l'espace vectoriel $\mathcal{H}(\Omega)$ des fonctions holomorphes sur $\Omega$, muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de $\Omega$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
    -- Pour tout $K\subset \Omega$ compact, il existe une constante $M_K \in \mathbb{C}_+^*$ telle que, pour tout $f \in \mathcal{A}$, $\|f\|_{\infty, K}\leq M_K$.
    -- La partie $\mathcal{A}$ est relativement compacte.


    Application : Il n'existe pas de norme sur l'espace vectoriel $\mathcal{H}(\Omega)$ qui définisse la même topologie que la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de $\Omega$.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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    La preuve du théorème de Montel (à la Rudin) est belle mais trop courte pour constituer à elle seule un développement; j'ai rajouté la construction d'une suite exhaustive de compacts (cf. le Queffélec-Queffélec pour ça). On pourrait aussi rajouter le théorème d'Ascoli mais là on manquerait peut-être de temps au contraire. On peut aussi faire la preuve du théorème de Montel dans le Queffélec-Queffélec, mais je l'aime moins que celle du Rudin personnellement, c'est une question de goût.
  • Références :