Utilisés dans les 24 versions de développements suivants :
Théorème d'uniformisation de Riemann (ou théorème de représentation conforme)
Théorème d'uniformisation de Riemann (ou théorème de représentation conforme)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Théorème de l'application ouverte
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Théorème de l'application ouverte
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Fourier-Plancherel
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Construction de l'exponentielle et de Pi
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Densité des fonctions tests dans Lp
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Fourier-Plancherel
Théorème de Fourier-Plancherel
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Fourier-Plancherel
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Fourier-Plancherel
Points de Lebesgue d'une fonction L1
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Bohr-Mollerup (par la méthode d'Artin)
Théorème de Montel
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Développement :
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Remarque :
La preuve du théorème de Montel (à la Rudin) est belle mais trop courte pour constituer à elle seule un développement; j'ai rajouté la construction d'une suite exhaustive de compacts (cf. le Queffélec-Queffélec pour ça). On pourrait aussi rajouter le théorème d'Ascoli mais là on manquerait peut-être de temps au contraire. On peut aussi faire la preuve du théorème de Montel dans le Queffélec-Queffélec, mais je l'aime moins que celle du Rudin personnellement, c'est une question de goût.
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Références :
Théorème de Fourier-Plancherel
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Développement :
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Remarque :
D'après moi pour les leçons : 201, 207, 208, 234, 235 et 250.
Attention il est très long, et il y a un travail préliminaire à faire sur l'approximation de l'unité choisie par W. Rudin que l'on n'a bien évidemment pas le temps de démontrer : bien préciser que c'est admis.
Attention également à la coquille dans le livre : $\Phi_A$ et $\Psi_A$ sont à intervertir.
NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
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Développement :
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Remarque :
D'après moi pour les leçons : 205 et 234.
Version où l'on traite les cas p fini et infini.
La démonstration est tirée du livre de W. Rudin, pour qui le cas p infini est quasi trivial, je ne partage pas trop son point de vue...
NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Bohr-Mollerup (par la méthode d'Artin)
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Développement :
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Remarque :
Leçons 229, 253, 265.
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Références :
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Fichier :
Théorème de Fourier-Plancherel
Théorème de Fourier-Plancherel
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Développement :
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Remarque :
Démonstration inspirée à la fois de celle de W. Rudin et celle de M. El Amrani, on convole avec le noyau de Gauss.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
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Références :
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Fichier :
Théorème de prolongement des fonctions uniformément continues
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Théorème de Fourier-Plancherel
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 201, 208, 234, 250
Insuffisant pour la 213
/!\ Convention "$2 \pi$" pour la transformation de Fourier (qui est importante pour le caractère isométrique)
Rudin p225
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Bohr-Mollerup (par la méthode d'Artin)
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Utilisés dans les 35 versions de leçons suivantes :
202 : Exemples de parties denses et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Mis à jour le 19.05.17
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Références :
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Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
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Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Brezis, Haim
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Oraux X-ENS Analyse 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Algèbre
, Gourdon
-
Analyse
, Gourdon
-
Elements d'analyse fonctionnelle
, Hirsch
-
Cours d'analyse
, Pommelet
-
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
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Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
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Analyse réelle et complexe
, Rudin
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Fichier :
204 : Connexité. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Mis à jour le 25.05.17
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Références :
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Fichier :
265 : Exemples d'études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
204 : Connexité. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Analyse
, Gourdon
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Topologie
, Queffelec
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Les contre-exemples en mathématiques
, Hauchecorne
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Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
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Analyse réelle et complexe
, Rudin
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Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
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Oraux X-ENS Algèbre 3
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Fichier :
250 : Transformation de Fourier. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Ça vaut quand même le coup de parler de distributions tempérées, ou au moins de la classe de Schwartz, on va pas se mentir, c'est LE bon endroit pour faire de la transformée de Fourier !
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Références :
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Fichier :
265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.
204 : Connexité. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
235 : Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
250 : Transformation de Fourier. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
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Leçon :
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Références :
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Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
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Analyse numérique et équation différentielle
, Demailly
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Analyse
, Gourdon
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Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
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Analyse réelle et complexe
, Rudin
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Fichier :
205 : Espaces complets. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
204 : Connexité. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
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Oraux X-ENS Algèbre 3
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Oraux X-ENS Analyse 1
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Oraux X-ENS Analyse 3, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Analyse
, Gourdon
-
Les contre-exemples en mathématiques
, Hauchecorne
-
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard
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Cours d'analyse
, Pommelet
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Topologie
, Queffelec
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Analyse réelle et complexe
, Rudin
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Un max de maths
, Zavidovique
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Fichier :
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
235 : Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
245 : Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
250 : Transformation de Fourier. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
265 : Exemples d'études et d'applications de fonctions usuelles et spéciales.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
235 : Problèmes d’interversion en analyse.
241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.
265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.
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Leçon :
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Remarque :
Plan éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Leçon assez difficile si, comme beaucoup, vous n'avez jamais vu de fonctions spéciales avant l'année de préparation à l'agrégation… Difficile d'avoir un plan narrativement cohérent.
J'ai fait le pari osé d'intégrer des fonctions… à variable matricielle (!) dans mon plan, car les rapports ne l'interdisaient pas. C'est une libre interprétation du titre de la leçon, qui pourrait faire sourire (jaune?) le jury.
Si j'étais passé dessus à l'oral de l'agrégation, j'aurais supprimé la dernière sous-partie par une partie sur la fonction zeta de Riemann, en lien avec un développement sur l'expression de $\zeta(2k)$.
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Références :
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Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
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Analyse réelle et complexe
, Rudin
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Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
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Équations différentielles, Florent Berthelin
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Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer
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Analyse Complexe, Amar, Mathéron
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Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
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Fourier Analysis, Stein, Shakarchi
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Fichiers :
236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.