Analyse réelle et complexe

Rudin

Utilisée dans les 12 développements suivants :

Points de Lebesgue d'une fonction L1
Théorème d'uniformisation de Riemann (ou théorème de représentation conforme)
Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente
Densité des fonctions tests dans Lp
Théorème de l'application ouverte
Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd)
Théorème de Fourier-Plancherel
Construction de l'exponentielle et de Pi
Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
Théorème de Montel
Théorème de Bohr-Mollerup (par la méthode d'Artin)
Théorème de prolongement des fonctions uniformément continues

Utilisée dans les 16 leçons suivantes :

202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
204 (2024) Connexité. Exemples d'applications.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
245 (2024) Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.
250 (2024) Transformation de Fourier. Applications.
208 (2024) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
234 (2024) Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
235 (2024) Problèmes d'interversion de symboles en analyse.
239 (2024) Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
236 (2024) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.
205 (2024) Espaces complets. Exemples et applications.
201 (2024) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
229 (2024) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
241 (2024) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
243 (2024) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
253 (2024) Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Utilisée dans les 24 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    La preuve du théorème de Montel (à la Rudin) est belle mais trop courte pour constituer à elle seule un développement; j'ai rajouté la construction d'une suite exhaustive de compacts (cf. le Queffélec-Queffélec pour ça). On pourrait aussi rajouter le théorème d'Ascoli mais là on manquerait peut-être de temps au contraire. On peut aussi faire la preuve du théorème de Montel dans le Queffélec-Queffélec, mais je l'aime moins que celle du Rudin personnellement, c'est une question de goût.
  • Références :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 201, 207, 208, 234, 235 et 250.

    Attention il est très long, et il y a un travail préliminaire à faire sur l'approximation de l'unité choisie par W. Rudin que l'on n'a bien évidemment pas le temps de démontrer : bien préciser que c'est admis.

    Attention également à la coquille dans le livre : $\Phi_A$ et $\Psi_A$ sont à intervertir.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 205 et 234.

    Version où l'on traite les cas p fini et infini.
    La démonstration est tirée du livre de W. Rudin, pour qui le cas p infini est quasi trivial, je ne partage pas trop son point de vue...

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages: 201, 208, 234, 250
    Insuffisant pour la 213

    /!\ Convention "$2 \pi$" pour la transformation de Fourier (qui est importante pour le caractère isométrique)

    Rudin p225


    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 35 versions de leçons suivantes :