Analyse réelle et complexe

Rudin

Utilisée dans les 16 développements suivants :

Points de Lebesgue d'une fonction L1
Théorème d'uniformisation de Riemann (ou théorème de représentation conforme)
Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente
Densité des fonctions tests dans Lp
Théorème de l'application ouverte
Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd)
Théorème de Fourier-Plancherel
Construction de l'exponentielle et de Pi
Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
Théorème de Montel
Caractérisation réelle de Gamma avec la log convexité
Théorème de Bohr-Mollerup (par la méthode d'Artin)
Théorème de Bohr Mollerup
Analyticité des fonctions holomorphes
Théorème de prolongement des fonctions uniformément continues
Convergence monotone, Fatou et convergence dominée.

Utilisée dans les 17 leçons suivantes :

202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
204 (2025) Connexité. Exemples d’applications.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
245 (2025) Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications
250 (2025) Transformation de Fourier. Applications.
208 (2025) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
234 (2025) Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
235 (2025) Problèmes d’interversion de symboles en analyse
239 (2025) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
236 (2025) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
205 (2025) Espaces complets. Exemples et applications.
201 (2025) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
229 (2025) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
241 (2025) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
243 (2025) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
253 (2025) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
219 (2025) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Utilisée dans les 33 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    La preuve du théorème de Montel (à la Rudin) est belle mais trop courte pour constituer à elle seule un développement; j'ai rajouté la construction d'une suite exhaustive de compacts (cf. le Queffélec-Queffélec pour ça). On pourrait aussi rajouter le théorème d'Ascoli mais là on manquerait peut-être de temps au contraire. On peut aussi faire la preuve du théorème de Montel dans le Queffélec-Queffélec, mais je l'aime moins que celle du Rudin personnellement, c'est une question de goût.
  • Références :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 201, 207, 208, 234, 235 et 250.

    Attention il est très long, et il y a un travail préliminaire à faire sur l'approximation de l'unité choisie par W. Rudin que l'on n'a bien évidemment pas le temps de démontrer : bien préciser que c'est admis.

    Attention également à la coquille dans le livre : $\Phi_A$ et $\Psi_A$ sont à intervertir.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 205 et 234.

    Version où l'on traite les cas p fini et infini.
    La démonstration est tirée du livre de W. Rudin, pour qui le cas p infini est quasi trivial, je ne partage pas trop son point de vue...

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages: 201, 208, 234, 250
    Insuffisant pour la 213

    /!\ Convention "$2 \pi$" pour la transformation de Fourier (qui est importante pour le caractère isométrique)

    Rudin p225


    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Je présente le théorème de Bohr Mollerup, et l'applique pour montrer la formule de duplication de Legendre, que j'applique pour calculer l'intégrale de Raabe. Ca rentre donc dans la leçon de calcul d'intégrales, et ça se présente super bien. Bref, top!


    Le théorème est dans le Rudin. Pour les applications, je n'ai pas de référence, mais ça s'apprend bien / ça doit se trouver.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Mes recasages sont indiqués en haut de la première page.
    Ce développement est classique, efficace, recasable... Bref le rêve ! Je suis tombé dessus le jour J et tout s'est très bien passé. Ils m'ont demandé comment on construisait la sous-suite au début, comment justifier la sous-additivité de la mesure, pourquoi l'intégrale sur X est égale à l'intégrale sur A... Puis ils ont enchaîné quasi tout l'oral sur les $L^p$ donc il faut être vraiment au point là-dessus quand on propose ce développement (démonstration et utilisation de Hölder etc...)
    Tout est bien fait dans le Rudin, si on trouve ce livre un peu vieux il doit y avoir d'autres références (Li Intégration sûrement ?)

    ATTENTION ! On m'a signalé que j'avais mis le mauvais PDF... Je tâcherai de remettre le bon assez vite.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement plutôt sympa, qui rentre bien dans le temps imparti même en prenant son temps. Je montre dans cette version que toute fonction holomorphe est analytique (à partir de la formule de Cauchy sur les convexes), j'en déduit les estimées de Cauchy et le théorème de Liouville qui affirme que toute fonction entière bornée est constante. Le Rudin fait les choses, mais tout n'est pas au même endroit dans le bouquin.

    Côté recasages:
    Espaces de fonctions
    Suites et séries de fonctions
    Séries entières
    Fonctions holomorphes

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Pas mon développement préféré, mais que voulez-vous, il faut bien avoir des développements dans les leçons sur la convexité...

    Côté recasages à mon avis:
    Utilisation de la convexité en analyse
    Fonctions monotones fonctions convexes
    Etudes de fonctions usuelles et spéciales
    Fonction définie par une intégrale à paramètre

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 55 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    J'adore cette leçon et je suis tombé dessus le jour J ! (voir mon témoignage)
    Je ne l'ai pas faite tout à fait comme ça le jour J : J'ai raccourci la partie I-2) en enlevant les espaces produits (parce que j'aimais pas trop ça...) Dans la partie II-1), j'ai rajouté des choses sur les espaces vectoriels normés de dimension finie (comme quoi ils sont tous complets parce qu'on a l'équivalence des normes...). Comme exemple d'application du théorème du point fixe, j'ai mis le théorème d'inversion locale (que je faisais en dev) plutôt que Cauchy-Lipschitz. Enfin, j'ai regroupé les parties III-1) et III-2), tout ça pour avoir un peu plus de place pour parler de la théorie de Baire que j'aime bien.
    Je vous laisse aller voir mon témoignage, ils m'ont surtout interrogé sur les espaces $L^p$ parce que je suis passé sur Riesz-Fischer en dev. Je pense qu'il faut bien connaître des exemples d'espaces complets, mais aussi d'espaces non complets et savoir justifier pourquoi ils ne le sont pas. La théorie de Baire n'est pas obligatoire (mais me semble quand même être un bon investissement à faire pendant l'année), si on en parle il faut l'avoir vraiment travaillée : les démos (je faisais Banach-Steinhaus en DEV avec un exemple de fonction continue dont la série de Fourier diverge en 0), mais aussi des exemples d'utilisation, faire quelques exercices sur le sujet. Personnellement, j'en ai parlé parce que j'avais vu tout ça en M1.
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Mon plan est très simple mais efficace (et facile à retenir !) La difficulté de cette leçon repose sur les démonstrations des résultats de convexité que je trouve assez difficiles contrairement à d'autres démonstrations. C'est souvent une utilisation "futée" de l'inégalité des pentes.
    L'étude de la convexité se motive notamment par les inégalités qu'elle produit, et des résultats de passage du local au global.
    Il faut savoir faire le lien entre ensemble convexe et fonction convexe : c'est l'épigraphe ! Il faut aussi absolument accompagner cette leçon d'une annexe avec des dessins, dans la mienne il n'y en a peut-être pas assez...
    Je me dis aussi qu'au vu du titre de la leçon, il faut savoir faire un lien entre les fonctions monotones et les fonctions convexe ; je pense qu'une bonne réponse à cette question peut se trouver dans le cadre des fonctions régulières...
    J'ai mis le processus de Galton-Watson car il se recase assez bien, on peut orienter ce qu'on démontre soit vers les probas soit vers la convexité (ou les deux si on va assez vite). Cependant, il me semble que le jury en a un peu marre de voir ce développement, donc si vous trouvez aussi bien ou mieux, n'hésitez pas ! Ce développement se trouve dans le Delmas, Modèle Aléatoires (je ne le trouve pas sur le site)
  • Références :
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