(2022 : 250 - Transformation de Fourier. Applications.)
Cette leçon est consacrée à l'analyse de Fourier sur la droite réelle. Au niveau de l'agrégation, elle peut être abordée dans trois cadres : $L^1$, classe de Schwartz des fonction $C^\infty$ à décroissance rapide, ou $L^2$. Les deux derniers points de vue sont les plus satisfaisants du point de vue de la symétrie obtenue, le dernier étant le plus délicat. Cette leçon exige donc une préparation soigneuse.
Les candidats ne manqueront pas d'illustrer leur leçon par quelques applications significatives : formule sommatoire de Poisson et ses applications, résolution d'équations aux dérivées partielles, etc. Bien entendu, les fonctions caractéristiques et leurs applications en probabilités ont toute leur place dans cette leçon.
Le fait que les polynômes constituent une base hilbertienne de l'espace des fonctions de carré intégrable relativement à certains poids est présenté quasi systématiquement en développement. Peut-être faudrait-il songer à trouver d'autres sources d'inspiration, d'autant que la preuve n'est pas toujours parfaitement comprise, et que de nombreux candidats sont incapables d'en déduire une base hilbertienne de $L^2(R)$.
De nombreux candidats proposent comme développement le théorème d'échantillonage de Shannon, ce qui est pertinent, à condition d'avoir bien compris qu'il traduit une isométrie entre deux espaces de Hilbert.
Les candidats solides pourront s'intéresser aux vecteurs propres de la transformée de Fourier sur $L^2(R)$, à la non-dérivabilité de la fonction de Weierstrass dans le cas le plus général, à l'algèbre de convolution $L^1(R)$, au théorème de Paley-Wiener qui caractérise les fonctions de $L^2(R)$ dont la transformée de Fourier est à support compact, aux principes d'incertitude, etc.
223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
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Défense de plan : rien de spécial. Au début de mes 6 minutes j'ai écris au tableau : "dérivation <-> multiplication ; convolution <-> multiplication", en expliquant que la TF permet de transformer un problème de dérivation en problème de multiplication via la convolution, ce qui justifie son étude et motive la volonté de reconstruire f à partir de hat{f}. Ils ont apprécié (je crois).
Contenu du plan : relativement classique, j'ai fait L1, Schwartz, L2, puis une partie "résolution d'EDP" contenant des résolutions explicites (type chaleur par exemple) et la méthode des différences finies (option B, attention c'est une TF discrète donc içi).
Développement : Je suis allé trop vite donc j'ai brodé autour et j'ai au final fais 14 minutes. Ils ne m'en n'ont pas tenu rigueur. Je me contentais du cas simple (avec x^2) et 1D. J'ai tout de même expliqué comment passer au cas général comment généraliser en multi-D.
Question sur le développement :
- détailler la formule intégrale de Taylor.
- question sur la détermination principale de la racine carrée, que se
passe-t-il si on en prend une autre. même question pour la TF de la
gaussienne. (il y a un changement de phase).
- Que se passe-t-il si on suppose a intégrable et non C infini (notations du QueZui). (tout se passe bien par densité).
Question sur le plan :
- Comment calculer la TF de la gaussienne.
- Définition de la décroissance rapide.
- Preuve de si f et ˆf sont simultanément à support compact, alors f = 0.
- Détail sur la convolution et les probabilités.
- Pourquoi la TF est injective.
- Détail sur l'application du développement à la fonction d'Airy.
Exercices :
- Trouver les $f \in \L^1$ telles que $f \star f = f$.
- Soit $A >0$. On pose $E = \{ f \in L^\infty \cap L^1 \cap \mathcal{C}^\infty, \quad \mathrm{Supp} (\hat{f}) \subset B(0,A) \}$. Montrer que la dérivation de $E$ dans $E$ définit une opération continue.
- Pour finir : calcul de $\chi_{[-1,1]} \star \chi_{[-1,1]}$.
Jury très agréable, ils m'ont directement mis à l'aise. Ils semblaient en revanche totalement désintéressé lors du développement. Ils se partageaient bien la parole.
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18.75
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Comme dit par d'autres il faut être 100% au taquet sur ce qu'on met dans son plan car le jury pose des questions sur tout. Après être revenus sur des imprécisions de mon développement, ils m'ont demandé les grandes lignes de la démo que j'aurais faite pour mon 2ème développement. Pourquoi les gaussiennes sont des vecteurs propres pour la transf de Fourier. Un peu de Shannon car j'en avais parlé dans mon plan
NB : 4 membres du jury pour la leçon agrég spécial docteurs
Très sympathique et aidant. 3 sur les 4 posaient pas mal de questions et donnaient des pistes si je bloquais
Il faut être bien à l'heure de la convocation car la prép commence environ 3h20 avant le passage, on a donc eu réellement les 3h de préparation contrairement à ce qui s'était peut-être passé d'autres années. Bien connaître les livres qu'on utilise car en soi chercher dans la biblio de l'agrég ne sert à rien si on ne sait pas quel livre va nous fournir l'info (j'avais un trou sur un morceau de démonstration et sans le livre que je voulais c'était compliqué de retrouver dans un autre. Malgré tout j'ai eu le temps de bien écrire mon plan et revoir les principales démos durant la préparation, puis penser à mon intro et me concentrer pendant qu'ils font les photocopies. Au total j'ai apprécié l'expérience
12.25
241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
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Un échange (très) détaillé sera disponible sur mon site internet : www.coquillagesetpoincare.fr
Une petite erreur qui aurait pu être évité sur le développement ... Mais surtout deux gros points négatifs sur l’espace de Schwartz et la convolution. De plus il est écrit dans le rapport du jury :La leçon nécessite une bonne maîtrise de questions de base telle que la définition du produit de convolution de deux fonctions de L1. Quelques petites erreurs d’étourderies car je voulais répondre vite ... mais je me corrigeais rapidement.J’ai trouvé le jury plutôt "fermé" et pas vraiment sympathique, et dont un qui était très rabaissant ... On n’est pas là pour se faire des amis, mais quand même ...
Oui
14.25
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
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Beaucoup de questions sur la théorie de la mesure suite à mon développement et de justifications concernant l'appartenance de certaine fonctions à certains espaces.
On m'a demandé d'énoncé le théorème de Fubini.
Puis le probabiliste du jury s'est réveillé pour me poser des questions concernant les transformées de Fourier des lois de probabilités, puis il s'est rendormi.
On m'a aussi demander si je pouvais donner une méthode de calcul pour la transformée de la fonction x--> (1+x^4)^{-1}. J'ai énoncé la méthode des résidus, mais ils ne m'ont pas demandé de faire le calcul par manque de temps.
Le jury a été plutôt sympathique avec moi venant (trop ?) souvent à mon aide.
Surpris d'avoir un spectateur à cet oral, je ne m'y attendais pas. Aussi surpris d'avoir réussi à apprendre un développement en peu de temps et avoir pu le restituer (plus ou moins bien) lors de l'épreuve. (Heureusement que je connaissais mon deuxième développement sur le bout des doigts.)
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