Développement : Théorème de Fourier-Plancherel

Détails/Enoncé :

Soit $f \in L^1 \bigcap L^2$. Alors $|| \widehat{f} ||_2 = ||f||_2$ et $\mathcal{F} (L^1 \bigcap L^2) \subseteq L^2$ et de plus cette partie est dense.

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

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    Attention, bien prendre la convention du Rudin pour la transformée de Fourier.
    En bas à gauche de la première page, la justification de la convergence est le théorème de convergence dominée !
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    D'après moi pour les leçons : 201, 207, 208, 234, 235 et 250.

    Attention il est très long, et il y a un travail préliminaire à faire sur l'approximation de l'unité choisie par W. Rudin que l'on n'a bien évidemment pas le temps de démontrer : bien préciser que c'est admis.

    Attention également à la coquille dans le livre : $\Phi_A$ et $\Psi_A$ sont à intervertir.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    Recasages: 201, 208, 234, 250
    Insuffisant pour la 213

    /!\ Convention "$2 \pi$" pour la transformation de Fourier (qui est importante pour le caractère isométrique)

    Rudin p225


    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 59 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 123 versions au total)
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani (utilisée dans 45 versions au total)