Leçon 234 * : Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$.

(2016) 234
(2018) 234

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 234 - Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$.) Cette leçon nécessite d’avoir compris les notions de presque partout (comme par exemple les opérations sur les ensembles négligeables) et évidemment la définition des espaces $L^p$. Le jury a apprécié les candidats sachant montrer qu’avec une mesure finie $L^2 \subset L^1$ (ou même $L^p \subset L^q$ si $p \ge q$). Il est important de pouvoir justifier l’existence de produits de convolution comme par exemple le produit de convolution de deux fonctions de $L^1$. Les espaces associés à la mesure de comptage sur $N$ ou $Z$ fournissent des exemples pertinents non triviaux qui peuvent être exploités dans cette leçon. Par ailleurs, des exemples issus des probabilités peuvent tout à fait être mentionnés. Pour aller plus loin, la complétude de $L^p$ ($p$ ffini ou infini) offre aussi un bon développement. On peut aussi penser à certains résultats sur le caractère fini dimensionnel des sous-espaces fermés de $L^p$ dont les éléments ont des propriétés remarquables (par exemple être dans $L^\infty$). Enfin, le cas particulier hilbertien $p = 2$ mérite attention mais il faut alors se concentrer sur les spécificités d’un espace de fonctions $L^2$ et éviter de faire un catalogue de propriétés vraies pour n’importe quel espace de Hilbert.

(2016 : 234 - Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$. ) Cette leçon nécessite d’avoir compris les notions de presque partout (comme par exemple les opérations sur les ensembles négligeables) et évidemment la définition des espaces $L^p$. Le jury a apprécié les candidats sachant montrer qu’avec une mesure finie $L^2 \subset L^1$ (ou même $L^p \subset L^q$ si $p > q$). Il est important de pouvoir justifier l’existence de produits de convolution comme par exemple le produit de convolution de deux fonctions de $L^1$ ). Par ailleurs, les espaces associés à la mesure de comptage sur N ou Z fournissent des exemples pertinents non triviaux à propos desquels des développements peuvent être proposés comme la description du dual. Par ailleurs, des exemples issus des probabilités peuvent tout à fait être mentionnés. Pour aller plus loin, la complétude de $L^p$ (p fini ou infini) offre aussi un bon développement. On peut aussi penser à certains résultats sur la dimension des sous-espaces fermés de $L^p$ dont les éléments ont des propriétés particulières de régularité. Enfin, le cas particulier hilbertien $p = 2$ mérite attention mais il faut se concentrer sur les spécificités d’un espace de fonctions $L^2$ et éviter de faire un catalogue de propriétés vraies pour n’importe quel espace de Hilbert.
(2015 : 234 - Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$.) Le jury a apprécié les candidats sachant montrer qu'avec une mesure finie $L^2 \subset L^1$ (ou même $L^p \subset L^q$ si $p \ge q$). Il est important de pouvoir justifier l'existence de produits de convolution (exemple $L^1 \star L^1$ ). Par ailleurs, les espaces associés à la mesure de comptage sur $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{Z}$ fournissent des exemples pertinents non triviaux à propos desquels des développements peuvent être proposés comme la complétude ou pour les candidats plus solides la description du dual.
(2014 : 234 - Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$.) Le jury a apprécié les candidats sachant montrer qu'avec une mesure finie $L^2 \subset L^1$ (ou même $L^p \subset L^q$ si $p \geq q$). Il est important de pouvoir justifier l'existence de produits de convolution (exemple $L^1 \star L^1$). Par ailleurs, les espaces associés à la mesure de décompte sur $N$ ou $Z$ fournissent des exemples pertinents non triviaux.

Plans/remarques :

2017 : Leçon 234 - Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$.


2016 : Leçon 234 - Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$.


Retours d'oraux :

2017 : Leçon 234 - Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$.

  • Leçon choisie :

    234 : Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$.

  • Autre leçon :

    226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    On est d'abord revenus ensemble sur quelques détails de la démo de Riez, quelques précisions. Ensuite ils m'ont posé des questions sur mon plan :
    - pas mal de questions sur les modes de convergence de VAR (j'avais une partie probas)
    -questions sur le dual de Lp que j'avais admis, du coup ils m'ont demandé l'utilité du dual.
    - j'ai eu une série de question sur L2 en tant que Hilbert, produit de convolution, quelques ensembles denses etc..

    Ensuite on est passés aux exos.
    1) Donner un exemple d'espace mesuré tels que les Lp soient croissants.
    R: N muni de la mesure de comptage, on écrit norme Lp de f et on a le terme d'une série convergente donc qui tend vers 0. À partir d'un certain rang on est <1 et donc on a la croissance des Lp.

    2) soit g dans L2(R)
    ON suppose que g est orthogonale à toute indicatrice de segment [a,b]. Que dire de g ?
    Intuitivement on sent que g est nulle precisons-le : Par densité des fonctions engendrées par les indicatrices. Et d'après la caractérisation dans un Hilbert qu'un sev est dense ssi son orthogonal est réduit à 0

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très sympathique des que la porte s'est ouverte, ça m'a vraiment déstressé de les voir ! Ils étaient agreables et pas cassants du tout. Ils me demandaient de préciser mon propos lorsque je n'étais pas clair. Et on sentait vraiment que les questions étaient là pour tester les limites du candidat et pas pour le détruire !

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je suis surpris, je m'attendais à être détruis par le jury. Grosse surprise de ce côté là. La préparation s'est bien passé. J'ai fini en 1h30 mon plan. J'ai pu m'entraîner à redémontrer tout les résultats de mon plan et les contre exemples.

  • Note obtenue :

    10


2015 : Leçon 234 - Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$.

  • Leçon choisie :

    234 : Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$.

  • Autre leçon :

    230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions :

    Q : a-t-on des inclusions entre les Lp si l'espace est de mesure finie ?
    R : Oui, ils sont décroissants, petit temps pour le montrer.

    Q : Que se passe-t-il si l'espace est de mesure infinie ?
    R : Là j'ai dit que je savais qu'il existait des contre-exemples de fonctions qui sont dans un Lp mais dans aucun autre Lq.

    Et que si on se donnait trois indices on avait une inclusion du type précédent. J'ai commencé à écrire au tableau, mais ils m'ont arrêté pour la suite

    Q : Quelles sont les fonctions f qui convolées à elle-même sont nulles ?
    R : Là, j'ai écrit la formule de la convolution, il m'a dit "Calme-toi", j'ai fait : "Ah ok", passons par Fourier.

    Et là c'est posé.

    Q : Vous avez écrit que la transformée de Fourier d'une fonction L1 est continue, que dire de plus ?
    R : Elle tend vers 0 au bord.

    Q : Montrer le
    R : Euh, bah la démonstration que je connais … euh … repose sur une astuce … Plouf Plouf …

    Q : Admettons le résultat. La transformée de Fourier va de L1 dans les fonctions continues qui tendent vers 0 aux bords, que dire de ce second espace.
    R : c'est un Banach pour la norme infinie.

    Q : Vous avez dit que la transformée de Fourier est injective, est-elle surjective dans ces conditions ?
    R : Là, je me suis dit que je m'étais jamais posé cette question. Et j'ai répondu que je pensais pas vu qu'on introduisait L2 et S pour travailler sur Fourier en général, du coup qu'il fallait trouver un contre-exemple ou montrer que les deux espaces étaient pas isomorphes.

    Q : Comment fait-on cela ?
    R : On peut regarder le caractère séparable, là manque de bol les deux sont séparables, enfin je crois.
    ( du coup il faudrait regarder le caractère réflexif des deux machins … je sais pas si on peut s'en sortir )

    Q : Passons à autre chose ? Que dire d'une application continue bijective d'un banach dans un banach ?
    R : La réciproque est continue, par le théorème de l'application ouverte.

    Q : Ok petit con maintenant tu vas nous dire à quoi ça sert dans la vie les espaces Lp ?
    R : Euh … plouf plouf … On peut introduire les espaces de Sobolev pour résoudre des équations différentielles plus générale, et même des E.D.P.

    Q : Les espaces de Sobolev ? MAIS TU TE FOUS DE MA GUEULE ? Tu crois que tu vas les intéresser les petits cons d'aujourd'hui avec leur black berry, leur iphone et le Ternet ?
    R : Euh …

    Q : Quoi euh !
    R : Bah …

    Q : Allez dégage toi aussi t'es un petit con !
    R : Bonne journée.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'étais pas très bien vu l'oral de la veille, du coup j'ai pas parlé de tout ce que j'avais prévu dans cette leçon ( Sobolev, Stampaccia, Lax-Milgram) et j'ai surtout bien veillé à la cohérence du plan surtout sur la construction des Lp. Et je me suis retrouvé à faire une leçon sur la convolution et la transformation de Fourier au final en gros ...

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    234 : Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$.

  • Autre leçon :

    218 : Applications des formules de Taylor.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Équation de la chaleur sur le cercle

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions de niveau moyen, même si j'ai pas forcément très bien répondu.

    Le jury était un peu relou, ils écoutaient pas vraiment, ils étaient mous, en gros j'avais un peu l'impression qu'ils s'en foutaient. Et un des mecs (J.-P. Barani) m'a plus ou moins forcé à dire que le dual de $L^1$ n'était pas $L^\infty$. J'ai pas trop insisté parce que c'est un oral, mais j'ai un peu la haine.

    Et aussi, ils ont fait n'importe quoi administrativement parlant, mais tout s'est bien passé. Enfin un peu des branleurs quoi.

    Jury : La solution que vous avez trouvé, que peut-on en dire à $t\textgreater0$ fixé ?
    Votre serviteur : Eh bien puisqu'on a montré que $(t,x)\mapsto u(t,x)$ est $C^\infty$, en particulier $x\mapsto u(t,x)$ est lisse aussi.
    J : Et comment vous le montreriez ?
    VS : Ben… Je ferais ça…
    [C'EST LE TIERS DE MON DÉVELOPPEMENT PENDARD, JE VIENS DE LE FAIRE, TU VEUX PAS ÉCOUTER UNE SECONDE ?]
    J : Ah. Et si la dérivée en temps est double, qu'est-ce qu'il se passe ?
    VS : C'est l'équation des ondes, ça ressemble plus à une équation de transport, il n'y a pas régularisation.

    Jury : Soit $f$ l'indicatrice d'un ensemble de mesure strictement positive. Sa transformée de Fourier est-elle intégrable ?
    Votre Serviteur : Non, sinon elle serait la transformée de Fourier inverse de sa transformée de Fourier, donc continue.

    J : Si $f$ et $f^{(n)}$ sont $L^p$, montrez que les $f^{(k)}$ sont bornées.
    J'en ai chié, mais Taylor, ce qui m'a valu un petit « Ah, je comprends pourquoi vous n'avez pas pris l'autre leçon. » du jury. Garder son calme.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Comme dit précédemment, jury un peu borné.

  • Note obtenue :

    18