Développement : Densité des polynômes orthogonaux (base hilbertienne)

Détails/Enoncé :

Soit $I$ un intervalle de $R$ et $\rho:I \to ]0, \infty[$ une fonction mesurable. S'il existe $a$ tel que $$ \int_I e^{a|x|} \rho(x) dx < \infty$$, alors la famille de polynômes orthogonaux associée à $\rho$ forme une base hilbertienne de $L^2(I, \rho)$.

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    D'après moi pour les leçons : 207, 213, 234, 245 et 250.

    Le développement n'est pas difficile, mais risqué car il faut être prêt à répondre à la question "à quoi ça sert ?", et là les choses se compliquent.
    Pour information, le sujet d'analyse de 2010 utilisait les polynômes de Hermite pour la résolution d'une équation différentielle.

    Par ailleurs il est bon de se poser la question de l'optimalité, i.e. à partir de quelle puissance de $|x|$ dans l'exponentielle il n'y a plus densité (de mémoire en dessous de $1/2$ ça ne marche plus).

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    Attention, le jury n'aime pas ce développement, et les questions qui en découlent peuvent être compliquées. Évitez de le recaser à toutes les sauces dans la mesure du possible (à mon avis).

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 292 versions au total)