Leçon 207 * : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

(2018) 207

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.) Il ne faut pas hésiter à commencer par des exemples très simples tels que le prolongement en 0 de la fonction $x \longmapsto \frac{\sin(x)}{x}$, mais il faut aller plus loin que le simple prolongement par continuité. Le prolongement par densité de certains résultats (comme la continuité de l’opérateur de translation dans $L^p$) et le prolongement analytique relèvent bien sûr de cette leçon. Le prolongement éventuel de la somme d’une série entière sur le bord du disque est une notion qui doit être maîtrisée. Pour aller plus loin, on peut par exemple parler de l’extension à $L^2$ de la transformation de Fourier. Le héorème de Hahn-Banach, dans le cas séparable, peut être un exemple de résultat très pertinent.

(2016 : 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.) Il ne faut pas hésiter à commencer par des exemples très simples tels que le prolongement en 0 de la fonction $x \longmapsto \sin(x)/x$ , mais il faut aller plus loin que le simple prolongement par continuité. Le prolongement par densité et le prolongement analytique relèvent bien sûr de cette leçon. Pour aller plus loin, on peut par exemple parler de l’extension à $L^2$ de la transformation de Fourier. En ce qui concerne le théorème de Hahn-Banach, le candidat n’en donnera la version la plus générale que s’il peut s’aventurer sur le terrain délicat du lemme de Zorn. Rappelons que l’on peut aussi s’en dispenser pour justifier le théorème de Hahn-Banach de façon plus élémentaire dans le cas séparable.
(2015 : 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.) Il ne faut pas hésiter à commencer par des exemples très simples tel que le prolongement en la fonction $x \longmapsto \frac{\sin(x)}{x}$. Les candidats exploitent rarement toutes les potentialités de cette leçon très riche. Le jury se réjouirait aussi que les candidats abordent les notions de solution maximale pour les équations différentielles ordinaires et maîtrisent le théorème de sortie des compacts. Le prolongement analytique relève bien sûr de cette leçon ainsi que le prolongement de fonctions $C^infty$ sur un segment en fonctions de la même classe, le théorème de Tietze sur l'extension des fonctions continues définies sur un sous-ensemble fermé d'un espace métrique et la transformation de Fourier sur $L^2$. En ce qui concerne le théorème d'Hahn-Banach, le candidat n'en donnera la version en dimension infinie que s'il peut s'aventurer sans dommage sur le terrain délicat et très souvent mal maîtrisé du lemme de Zorn. Il vaut mieux disposer d'applications pertinentes autres que des résultats classiques abstraits sur les duaux topologiques.
(2014 : 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.) Les candidats exploitent rarement toutes les potentialités de cette leçon très riche. Le jury se réjouirait aussi que les candidats abordent les notions de solution maximale pour les équations différentielles ordinaires et maîtrisent le théorème de sortie des compacts. Le prolongement analytique relève bien-sûr de cette leçon ainsi que le prolongement de fonctions $\mathcal{C}^\infty$ sur un segment en fonctions de la même classe, le théorème de Tietze sur l'extension des fonctions continues définies sur un sous-ensemble fermé d'un espace métrique, la transformation de Fourier sur $L^2$ et l'extension des fonctions Lipschitziennes définies sur un sous-ensemble (pas nécesairement dense) d'un espace métrique. En ce qui concerne le théorème d'Hahn-Banach, le candidat n'en donnera la version en dimension infinie que s'il peut s'aventurer sans dommage sur le terrain très souvent mal maîtrisé du lemme de Zorn. Il vaut mieux disposer d'applications pertinentes autre que des résutats classiques abstraits sur les duaux topologiques.

Plans/remarques :

2018 : Leçon 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.


2017 : Leçon 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.


2016 : Leçon 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2018 : Leçon 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    263 : Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement : 1) Définissez l'espace de Schwarz
    2) Montrez que f dans S(R) implique que la transformée de Fourier est dans L1
    + quelques précisions

    Questions sur le plan : 1) Preuve qu'une série entière a toujours un point singulier sur son disque de convergence
    2) Peut-on prolonger des fonctions sur des espaces non métrique ? (Réponse : oui)
    3) Dessinez la fonction sinus cardinal. Quelle est sa régularité ? Peut-on la prolonger sur C ?
    4) Les identités trigonométriques sont elles prolongeables sur C ?
    5) Lorsqu'on intègre 1/(1-z) on obtient quelle fonction ? (le logarithme) Comment définir le logarithme complexe ?

    Exercice : Soit a dans ]-1,1[, pour i dans N* on pose la suite Ui=(a^(in))
    1) Montrez que ui est dans l2(R)
    2) Montrer que la famille des ui est totale dans l2(R) (Rep : Il faut prendre u dans l'othogonal et poser f(x) = somme(Un*x^n) et puisque f(a^i) = 0 pour tout i, on peut utiliser le principe de prolongement analytique)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Il y avait 3 personnes dans le jury. Aucun des membres n'est resté muet et ils posaient des questions chacun leur tour. Ils étaient très gentils dans l'ensemble et n'hésitaient pas à donner des indications en cas d'hésitation.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Densité des polynômes orthogonaux

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    D'abord des question sur le développement : dessiner le domaine de prolongement de la fonction considérée, j'avais fait une erreur il fallait considérer une bande et non un demi plan, j'ai pu la corriger. Puis comment on montre l'injectivité de la transformée de Fourier, et trouver une constante $a$ qui convient pour appliquer le théorème pour plusieurs fonctions poids.

    Sur le plan, on m'a demandé de montrer le théorème de la limite de la dérivée, avec indications. Ensuite justifier la présence de la proposition qui dit que l'opérateur de translation $x \mapsto \tau_x f$ est uniformément continu pour $f$ dans $L^p$, la réponse n'a pas eu l'air de convaincre. Ensuite j'avais marqué "il n'existe pas de solution globales à l'équation $y'=y^2$", ils m'ont demandé de corriger : "il existe des solutions qui ne sont pas globales" : les donner.

    Dans le même thème on considère $y'=y(1-y)$ avec donnée initiale dans $]0,1[$, que peut-on en dire ? Déjà il existe une unique solution maximale. Ensuite je l'ai résolue avec la méthode des équations autonomes. Ils m'ont demandé de retrouver le fait que la solution est globale et tend vers 1 en l'infini sans résoudre : appliquer le théorème de sortie de tout compact, la dérivée est positive donc la fonction est croissante..

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury assez neutre, l'un avait souvent l'air peu convaincu de mes réponses.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    16