Développement : Inégalité de Hardy

Détails/Enoncé :

Démonstration d'une inégalité vérifiée par des fonctions de l'espace $\mathbb{L}^p$ par densité des fonctions régulières. On peut aussi traiter le cas d'égalité.

Énoncé : Soit $p\in\, ]1,+\infty[$ un réel. Pour tout $f\in \mathbb{L}^p(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})$, on pose
$$T_f \;:\; \begin{cases} \mathbb{R}_+^* \longrightarrow \mathbb{R} \\ \displaystyle x \longmapsto \frac{1}{x}\int_{0}^{x}{f(t)\mathrm{d}t}\end{cases}.$$
Alors pour toute fonction $f\in \mathbb{L}^p(\mathbb{R}_+)$, $T_f$ est un élément de $\mathbb{L}^p(\mathbb{R}_+)$, et on a la majoration :
\begin{equation} \|T_f\|_{\mathbb{L}^p} \leq \left(\frac{p}{p-1}\right) \|f\|_{\mathbb{L}^p}. \end{equation}