Leçon 208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

(2018) 208

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.) Une telle leçon doit bien sûr contenir beaucoup d’illustrations et d’exemples, notamment avec quelques calculs élémentaires de normes subordonnées (notion qui met en difficulté un trop grand nombre de candidats). Le lien avec la convergence des suites du type $X_{n+1} = A X_n$ doit être connu. Lors du choix de ceux-ci (le jury n’attend pas une liste encyclopédique), le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples pour lesquels il n’a aucune idée de leur pertinence et à ne pas se lancer dans des développements trop sophistiqués. La justification de la compacité de la boule unité en dimension finie doit être maîtrisée. Il faut savoir énoncer le théorème de Riesz sur la compacité de la boule unité fermée d’un espace vectoriel normé. Le théorème d’équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d’un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent se garder des cercles vicieux. A contrario, des exemples d’espaces vectoriels normés de dimension infinie ont leur place dans cette leçon et il faut connaître quelques exemples de normes usuelles non équivalentes, notamment sur des espaces de suites ou des espaces de fonctions et également d’applications linéaires qui ne sont pas continues.

(2016 : 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples. ) Une telle leçon doit bien sûr contenir beaucoup d’illustrations et d’exemples, notamment avec quelques calculs élémentaires de normes subordonnées. Lors du choix de ceux-ci (le jury n’attend pas une liste encyclopédique), le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples pour lesquels il n’a aucune idée de leur pertinence et à ne pas se lancer dans des développements trop sophistiqués. La justification de la compacité de la boule unité en dimension finie doit être maîtrisée. Il faut savoir énoncer le théorème de Riesz sur la compacité de la boule unité fermée d’un espace vectoriel normé. Le théorème d’équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d’un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent se garder des cercles vicieux. A contrario, des exemples d’espaces vectoriels normés de dimension infinie ont leur place dans cette leçon et il faut connaître quelques exemples de normes usuelles non équivalentes, notamment sur des espaces de suites ou des espaces de fonctions. Pour aller plus loin, on peut éventuellement considérer le cas d’espaces métrisables mais dont la métrique n’est pas issue d’une norme, par exemple dans le champ des espaces de fonctions analytiques (topologie de la convergence uniforme sur tout compact par exemple).
(2015 : 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues.Exemples.) La justification de la compacité de la boule unité en dimension finie doit être donnée. Le théorème d'équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d'un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent se garder des cercles vicieux. Une telle leçon doit bien sûr contenir beaucoup d'illustrations et d'exemples. Lors du choix de ceux-ci (le jury n'attend pas une liste encyclopédique), le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples pour lequel il n'a aucune idée sur leur pertinence et à ne pas se lancer dans des développements trop sophistiqués. L'analyse des constantes de stabilité pour l'interpolation de Lagrange fournit un exemple non trivial et peu présenté.
(2014 : 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues.Exemples.) La justification de la compacité de la boule unité en dimension finie doit être donnée. Le théorème d'équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d'un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent se garder des cercles vicieux. Une telle leçon doit bien-sûr contenir beaucoup d'illustrations et d'exemples. Lors du choix de ceux-ci (le jury n'attend pas une liste encyclopédique), le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples sans avoir aucune idée de leur étude et à ne pas se lancer dans des développements trop sophistiqués. L'analyse des constantes de stabilité pour l'interpolation de Lagrange fournit un exemple non trivial peu présenté. Pour des candidats aguerris, la formulation variationnelle de problèmes elliptiques mono-dimensionnels peut donner lieu à des approfondissements intéressants.

Plans/remarques :

2018 : Leçon 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.


2017 : Leçon 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.


2016 : Leçon 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.


Retours d'oraux :

2018 : Leçon 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

  • Leçon choisie :

    208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

  • Autre leçon :

    230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Espace de Bergman du disque unité

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Beaucoup de questions sur le développement (rappel de la formule de Cauchy, développer l'argument de convergence uniforme sur tout compact...)

    - Le résultat reste-t-il vrai pour d'autres ouverts que le disque ?

    - Comment calculer la norme de f à l'aide de son développement en série entière ? (utiliser Parseval et les calculs du développement)

    - Comment montrer l'implication de ( si (f | en) = 0 pour tout n alors f = 0) vers ( (en) est une suite totale). Il faut utiliser une conséquence du théorème de projection de Riesz.

    -Rappel de la définition d'une fonction holomorphe, lien avec la différentielle, interprétation géométrique ? Il voulait que je parle de similitude et des équations de Cauchy-Riemann, il a dû beaucoup me pousser pour avancer.

    - Un exercice sur des normes. On se place sur l'espace des polynômes, et l'on considère les normes : sup(coeff de P), sup(P) sur [0,1], et intégrale de P^2 sur [0,1]. Rappeler rapidement pourquoi ce sont des normes. L'application P -> P(0) est elle continue pour ces normes ? C'est clair pour les 2 premières, faux pour la dernière (il faut bidouiller une suite de polynômes, je n'ai pas eu le temps de finir).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très bienveillant, ils me guidaient toujours en cas de blocage.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je m'attendais à plus de questions sur le plan ou des exercices, finalement plus de questions autour du développement.

  • Note obtenue :

    14.75