Développement : Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Détails/Enoncé :

Pour tout $p \in [1 , +\infty]$, $L^p$ est complet.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

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    D'après moi pour les leçons : 205 et 234.

    Version où l'on traite les cas p fini et infini.
    La démonstration est tirée du livre de W. Rudin, pour qui le cas p infini est quasi trivial, je ne partage pas trop son point de vue...

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    Démonstration de ce théorème utilisant la caractérisation des espaces de Banach par les séries absolument convergente. Je trouve la preuve assez sympa (et se recase mieux dans espace vectoriel normé a mon sens)
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    Version manuscrite, désolée pour l'écriture. Mes excuses également pour mes notes à la fin de la page que j'ai oublié d'effacer.

    Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
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    Mes recasages sont indiqués en haut de la première page.
    Ce développement est classique, efficace, recasable... Bref le rêve ! Je suis tombé dessus le jour J et tout s'est très bien passé. Ils m'ont demandé comment on construisait la sous-suite au début, comment justifier la sous-additivité de la mesure, pourquoi l'intégrale sur X est égale à l'intégrale sur A... Puis ils ont enchaîné quasi tout l'oral sur les $L^p$ donc il faut être vraiment au point là-dessus quand on propose ce développement (démonstration et utilisation de Hölder etc...)
    Tout est bien fait dans le Rudin, si on trouve ce livre un peu vieux il doit y avoir d'autres références (Li Intégration sûrement ?)

    ATTENTION ! On m'a signalé que j'avais mis le mauvais PDF... Je tâcherai de remettre le bon assez vite.
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    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse fonctionelle , Brézis (utilisée dans 36 versions au total)
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Brezis, Haim (utilisée dans 29 versions au total)
Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 90 versions au total)
Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès (utilisée dans 108 versions au total)
Intégration et applications, Daniel Li (utilisée dans 7 versions au total)
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 82 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 77 versions au total)
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li (utilisée dans 55 versions au total)