Intégrale de Dirichlet

p392

Intégrale de Dirichlet

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Scan un peu flou désolé. Leçon un peu trop longue à mon goût. Je pense qu'on peut mixer les parties 1 et 2, ne pas parler des fonctions mesurables, et peut-être enlever le lien avec l'intégrale de Riemann.

Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.

Si on peut faire l'impasse sur la 214, il faut vraiment faire l'effort de traiter cette leçon. Le calcul différentiel, c'est difficile, mais avec du travail franchement on s'en sort. Je conseillerais de faire plein d'exercices où on doit différentier des trucs. Les choses les plus classiques qui sont souvent demandées à l'oral sont la différentielle de la puissance matricielle, de l'inverse matriciel, voire de l'exponentielle matricielle...
On n'est pas obligé de parler des fonctions harmoniques, mais j'avais eu un cours dessus donc j'en ai parlé.
Comme pour la 214, je recommande vivement de faire plein d'exos d'application plus ou moins "futée" des théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites.

Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.

/!\ Après coup, j'ai remplacé le DEV1 par le théorème de Stone-Weierstrass ! Voir la partie du Hirsch-Lacombe qui lui est consacré. Pour le justifier dans cette leçon, il faut dire qu'on est conscient qu'on dépasse le cadre réel en se plaçant sur un espace métrique compact, mais que c'est tout de même un théorème qu'on utilise souvent dans le cadre réel et qui permet d'établir des résultats de densité intéressants : densité des polynômes, des polynômes trigonométriques, des fonctions lipschitziennes, des fonctions affines par morceaux...

Cette leçon est "facile" donc je pense qu'il faut s'attendre à des questions assez poussées du jury : étude de fonctions spéciales, et surtout exemples et contre-exemples (fonction continue nulle part dérivable, fonction discontinue partout sauf en un point, fonction dérivable de dérivée non continue...) Le Hauchecorne fait assez bien ce travail.

Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

Leçon très fortement inspirée de celle d'un certain Tintin.... Qui l'a d'ailleurs très bien présentée en classe :)
Il faut que les théorèmes "classiques" de continuité, dérivabilité, holomorphie sous l'intégrale y soient, accompagnés d'exemples. Et après il semble pertinent de développer la convolution, les approximations de l'unité et la transformée de Fourier dans $L^1(\mathbb{R})$. Par contre, je ne pense pas que parler de la transformée de Fourier dans $L^2(\mathbb{R})$ soit obligatoire... D'autant qu'elle n'est pas définie par une intégrale, mais on peut la motiver par le fait que c'est un "prolongement" de celle sur $L^1(\mathbb{R})$.
De même, les probas font une bonne application mais on peut sûrement les remplacer si on veut éviter à tout prix d'en parler...
Le Zuily-Queffelec (livre à utiliser le moins possible de mon point de vue) ne sert que pour les probabilités, on y trouve les preuves de Lévy, du TCL... Mais qu'il faut quand même remanier car elles utilisent des outils surpuissants pour rien... Voir ma version du développement si vous voulez le faire.