Intégrale de Dirichlet

p392

Intégrale de Dirichlet

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Scan un peu flou désolé. Leçon un peu trop longue à mon goût. Je pense qu'on peut mixer les parties 1 et 2, ne pas parler des fonctions mesurables, et peut-être enlever le lien avec l'intégrale de Riemann.

Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.

Si on peut faire l'impasse sur la 214, il faut vraiment faire l'effort de traiter cette leçon. Le calcul différentiel, c'est difficile, mais avec du travail franchement on s'en sort. Je conseillerais de faire plein d'exercices où on doit différentier des trucs. Les choses les plus classiques qui sont souvent demandées à l'oral sont la différentielle de la puissance matricielle, de l'inverse matriciel, voire de l'exponentielle matricielle...
On n'est pas obligé de parler des fonctions harmoniques, mais j'avais eu un cours dessus donc j'en ai parlé.
Comme pour la 214, je recommande vivement de faire plein d'exos d'application plus ou moins "futée" des théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites.

Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.

/!\ Après coup, j'ai remplacé le DEV1 par le théorème de Stone-Weierstrass ! Voir la partie du Hirsch-Lacombe qui lui est consacré. Pour le justifier dans cette leçon, il faut dire qu'on est conscient qu'on dépasse le cadre réel en se plaçant sur un espace métrique compact, mais que c'est tout de même un théorème qu'on utilise souvent dans le cadre réel et qui permet d'établir des résultats de densité intéressants : densité des polynômes, des polynômes trigonométriques, des fonctions lipschitziennes, des fonctions affines par morceaux...

Cette leçon est "facile" donc je pense qu'il faut s'attendre à des questions assez poussées du jury : étude de fonctions spéciales, et surtout exemples et contre-exemples (fonction continue nulle part dérivable, fonction discontinue partout sauf en un point, fonction dérivable de dérivée non continue...) Le Hauchecorne fait assez bien ce travail.

Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

Leçon très fortement inspirée de celle d'un certain Tintin.... Qui l'a d'ailleurs très bien présentée en classe :)
Il faut que les théorèmes "classiques" de continuité, dérivabilité, holomorphie sous l'intégrale y soient, accompagnés d'exemples. Et après il semble pertinent de développer la convolution, les approximations de l'unité et la transformée de Fourier dans $L^1(\mathbb{R})$. Par contre, je ne pense pas que parler de la transformée de Fourier dans $L^2(\mathbb{R})$ soit obligatoire... D'autant qu'elle n'est pas définie par une intégrale, mais on peut la motiver par le fait que c'est un "prolongement" de celle sur $L^1(\mathbb{R})$.
De même, les probas font une bonne application mais on peut sûrement les remplacer si on veut éviter à tout prix d'en parler...
Le Zuily-Queffelec (livre à utiliser le moins possible de mon point de vue) ne sert que pour les probabilités, on y trouve les preuves de Lévy, du TCL... Mais qu'il faut quand même remanier car elles utilisent des outils surpuissants pour rien... Voir ma version du développement si vous voulez le faire.

Déterminant. Exemples et applications.

Les 2 premières parties sont incontournables. Je crois qu'au niveau de l'agreg il faut impérativement suivre l'ordre de construction du déterminant que j'ai fait. J'ai pas écris au propre le 1er dév parce que je l'utilise que pour cette leçon, il n'est donc pas sur ma page.

J'utilise le Rombaldi pour la majeure partie du plan, le Grifone pour l'interprétation géométrique, le Li pour le lien avec l'analyse, le Gourdon par endroits et le Caldero pour le 2e dév.

Problèmes d’interversion de symboles en analyse

J'ai pas encore eu le temps de taper le plan en LateX, toutes mes excuses si c'est pas très lisible.

Cette leçon est pas évidente à organiser. Il y a pleins d'incontournables à ne pas oublier. J'aurai mis le I.1 dans une 1ère partie à part car n'a rien avoir avec les suites et séries de fonctions.

J'utilise Gourdon et El Amrani pour la majeure partie du plan, le Quéffelec-Quéffelec pour le 1er dév, le Li pour les intégrales à paramètres et Berthelin pour le 2e dév.

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

J'ai pas encore eu le temps de taper le plan en LateX, toutes mes excuses si c'est pas très lisible.

Le plan est assez large. Je pense que les 3 premières parties sont incontournables. Pour la dernière partie, on a le choix entre l'analyse complexe ou éventuellement parler de méthodes de calculs approchés. Je crois que le plus important dans cette leçon est vraiment de mettre des exemples pour chacune des méthodes proposées.

J'utilise le Gourdon pour les 2 premières parties, le Garet-Kurtzmann pour le 2e dév, le Berthelin pour le 1er dév et le Tauvel pour l'analyse complexe. J'ai sans doute utilisé le Li pour la 2e partie.

Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

J'ai pas encore eu le temps de taper le plan en LateX, toutes mes excuses si c'est pas très lisible.

J'ai mis que les titres des parties parce que je savais ce que je voulais mettre dedans. Désolé parce que ça risque pas d'aider beaucoup. J'aurai mis une application aux probabilités dans la dernière partie.

J'utilise le Li pour la 1ère et 2e partie, le Gourdon pour le 1er dév, le El Amrani et Garet-Kurtzmann pour la partie Fourier. J'ai mis le Hauchecorne pour quelques contre-exemples à la 1ère partie.