Algèbre linéaire

Grifone

Utilisée dans les 9 développements suivants :

Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent
Réduction des endomorphismes normaux
Diagonalisation des endomorphismes autoadjoints
Théorème spectral
Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard
Loi d'inertie de Sylvester, classification des formes quadratiques sur R, équivalence
Théorème spectral et ses trois corollaires
Loi d’inertie de Sylvester et classification des formes quadratiques sur R
Existence de base q-orthogonale et loi d'inertie de Sylvester

Utilisée dans les 22 leçons suivantes :

148 (2025) Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
162 (2025) Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
101 (2025) Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
149 (2025) Déterminant. Exemples et applications.
152 (2025) Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
156 (2025) Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
157 (2025) Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
158 (2025) Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
170 (2025) Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
171 (2025) Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
191 (2025) Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
161 (2025) Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
219 (2025) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
150 (2025) Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
159 (2025) Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
155 (2025) Exponentielle de matrices. Applications.
220 (2025) Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.
221 (2025) Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
102 (2025) Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
153 (2025) Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
154 (2024) Exemples de décompositions de matrices. Applications.
151 (2025) Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Utilisée dans les 10 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Ce développement contient trop d’items. Cette preuve du théorème spectral étant trop courte, elle ne peut pas faire seule l’objet d’un développement. Il est inutile de démontrer le corollaire 4, la preuve ne présente pas de difficulté particulière. Pour être tout à fait honnête, je ne l’ai pas vraiment testé. Je pensais présenter les lemmes 1 et 2, les théorèmes 3 et 5, et le corollaire 6. À noter qu’il peut se présenter dans de nombreuses leçons. De plus, le théorème spectral figure sur le programme du concours.
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 123 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Cette leçon est un vrai plaisir car tout (ou presque) est dans le Grifone !
    Elle était dans mon tirage le jour J mais je ne l'ai pas prise, préférant la 125. J'ai en effet eu peur du fait que comme c'est une leçon considérée comme "facile", le jury attende un niveau de fou dessus... Je pense qu'il faut bien connaître les démos (au moins les idées) de la base extraite, de la base incomplète, du fait que toutes les bases ont même cardinal... De même, il faut savoir justifier qu'un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie (c'est facile mais avec le stress le jour J on peut oublier l'argument...)
    Concernant les développements, j'ai mis le théorème des extrema liés (+ un lemme d'algèbre linéaire sur la dualité que j'ai oublié d'écrire ici) car cela utilise à de multiples reprises la dimension finie et car c'était un développement que j'avais beaucoup travaillé donc je pouvais le réinvestir le plus possible. Evidemment, on peut trouver des choses plus simples à proposer... Le DEV 2 se justifie par le fait qu'on fait une récurrence sur la dimension. C'est en effet une application très pratique de la dimension finie, on a quelques théorèmes fondamentaux qui se démontrent comme ça (le théorème spectral par exemple...)
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  • Remarque :
    Il me semble que les gens font souvent l'impasse sur cette leçon (en tout cas c'était le cas dans ma prépa agreg) mais ça ne me paraît pas si compliqué de travailler ça. J'ai même plutôt apprécié le faire car j'ai appris plein de trucs notamment sur l'aspect géométrique avec les matrices de Gram : voir le document sur le site de Jérôme Von Buhren.
    J'ai choisi de le définir à la manière de Gourdon (car c'est comme ça que j'avais appris en 1ère année) mais Grifone fait d'une autre manière... à voir selon les préférences.
    Le jour J, je n'aurais certainement pas mis la PROP 34 sur le déterminant de Cauchy car la démonstration est IMMONDE.
    Pour le DEV 2, attention au cas d'égalité, il faut le traiter soigneusement. Il est souvent bâclé dans les références (Gourdon et Grifone)
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  • Remarque :
    Cette leçon est l'une des premières que j'ai faites (la toute première je crois) et je l'ai présentée en classe. Le développement que j'ai fait au tableau était le DEV 1 : réduction des endomorphismes normaux. On m'a ensuite demandé de prouver que si un sev est stable par un endo normal, alors son orthogonal l'est aussi : il faut bien regarder la preuve, elle n'est pas du tout évidente si on ne l'a jamais vue !
    Il faut aussi savoir démontrer : Si un endo $u$ est diagonalisable et si $F$ est un sev stable par $u$, $u_F$ est aussi diagonalisable.
    Il faut aussi être au point sur la co-diagonalisabilité (d'autant que ça tombe souvent aux écrits !!).
    On peut ajouter le critère de diagonalisabilité sur un corps fini (qu'il faut savoir démontrer).

    J'ai eu tendance à prendre trop de livres pour la réduction, il vaut mieux en choisir un ou deux une bonne fois pour toutes (genre Mansuy et Grifone)
    Pour le développement sur la décomposition de Dunford, attention à la version que vous choisissez ! Si c'est l'une des deux qui sont dans le Gourdon, il faut prendre la deuxième (qui est celle qui figure dans cette leçon). En effet, une prof nous avait assuré que le jury n'aimait pas la première version. On peut aussi démontrer le lemme des noyaux pour aller vers les projecteurs spectraux (et recaser ainsi mieux dans PGCD-PPCM)
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  • Remarque :
    J'ai présenté cette leçon en classe au mois d'avril.
    J'ai encadré les THM23, DEF 24, COR25 mais il ne faut pas en tenir compte. Pour cette leçon, il faut vraiment se concentrer sur la théorie dans $\mathbb{R}$, alors que dans la 170, on peut (et même on doit) parler de ce qui se passe sur $\mathbb{C}$ voire sur $\mathbb{F}_q$.
    Il faut bien savoir décomposer en carrés par la méthode de Gauss en pratique et en tirer toutes les infos sur la forme quadratique : rang, signature, base $q$-orthogonale,...
    Concernant les coniques : même en ayant passé beaucoup de temps dessus, j'étais pas vraiment à l'aise... On trouve très difficilement des références où les choses sont VRAIMENT bien faites... Il y a Ladegaillerie et surtout le livre de Michèle Audin et celui de Aebischer (Géométrie L3)... Le problème est que selon les ouvrages, le vocabulaire peut changer... Et que le point de vue va très vite vers la géométrie projective que je voulais éviter à tout prix (un trop gros investissement juste pour cette leçon... En plus c'est hors programme...)
    Je pense qu'il faut parler de la classification euclidienne et affine, savoir classifier une conique en pratique (même si personnellement j'étais toujours fébrile quand il s'agissait du cas parabolique). L'un de mes professeurs disait qu'il fallait bien parler de l'aspect géométrique par foyer, génératrice, excentricité, définition monofocale, bifocale et tout ça... Il avait à dire que le jury était constitué soit de profs pas du tout à l'aise avec les coniques, soit de profs à l'aise seulement avec l'aspect géométrique... Je pense que dans tous les cas, le jury sait que c'est une notion très peu connue des candidats et que savoir classifier, c'est déjà pas mal, pas besoin d'aller s'aventurer dans les dingueries du Ladegaillerie ou même du Rombaldi avec le centre orthoptique ou je ne sais quoi...
    Concernant le DEV 2 (Par 5 points passe une conique), il m'a demandé beaucoup de travail mais il se recase dans la 191 aussi donc c'est pas mal. Je le trouve pas mal en vrai, ça permet de travailler les coordonnées barycentriques... Pour le trouver dans un ouvrage par contre bonne chance... Il n'y a que le livre de Isenmann et Pecatte (qui sont d'ailleurs je crois les auteurs de ce site).
    Bref, voilà une proposition de leçon 171, je pense qu'il faut très bien bosser les formes quadratiques et se tenir quand même un peu au courant de la classification des coniques et des aspects géométriques mais ne pas y passer des semaines et des week-end entiers...

    Au besoin, j'ai un poly de cours sur les formes quadratiques qui est plutôt bien fait, n'hésitez pas à me contacter pour que je vous l'envoie. Malheureusement, je n'ai pas d'analogue sur les coniques...
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    J'aimais bien cette leçon, il suffit de suivre le Rombaldi et de rajouter un peu du Grifone.
    Mon deuxième développement sur $Tr(M^2)$ est clairement là par défaut (je ne le prenais que dans cette leçon) et je ne pense pas qu'il mérite une sous-partie à lui seul, il faudrait le mettre dans la partie sur la classification sur $\mathbb{R}$.
    Il faut impérativement faire la classification sur $\mathbb{C}$, afin de se démarquer de la leçon 171 (je n'avais par contre pas envie de regarder ce qu'il se passe dans les corps finis).
    J'aimais bien mon application sur le groupe orthogonal, car c'est une notion que l'on retrouve dans de nombreuses leçons.

    Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
    Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
    N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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  • Remarque :
    Méta-plan qui est un copié-collé de la leçon 170, mis à part la partie sur les coniques et le fait de se placer seulement dans le cas réel.
    Cette leçon était presque une impasse à cause des coniques, j'ai mis comme référence le Grifone mais je ne sais pas si c'est le mieux (je n'ai toujours pas compris ce qu'était un conique).
    Au moins ce sont les mêmes développements que la 170.

    Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
    Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
    N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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