Développement : Loi d'inertie de Sylvester, classification des formes quadratiques sur $\mathbb{R}$, équivalence

Détails/Enoncé :

On démontre la loi d'inertie de Sylvester: Si $E$ est un $\mathbb{R}$ espace vectoriel de dimension finie non nulle $n$ et $Q$ une forme quadratique sur $E$, alors il existe $E^+$, $E^-$ des sous espaces de $E$ tels que la restriction de $Q$ à $E^+$ (respectivement $E^-$) soit définie positive (respectivement définie négative) et $$E=E^+\oplus E^-\oplus E'$$ où $E':=\{x\in E: Q(x)=0\}$. De plus, si $E=F^+\oplus F^-\oplus E'$ est une autre décomposition de $E$ du type précédent, alors $\text{dim}(F^+)=\text{dim}(E^+)$ et $\text{dim}(E^-)=\text{dim}(F^-)$.

Ce résultat légitime la définition de signature. On applique ce résultat à la classification des formes quadratiques réelles, puis au fait que deux formes quadratiques réelles sont équivalentes ssi elles ont même signature.

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