Développement : Loi d'inertie de Sylvester, classification des formes quadratiques sur R, équivalence

Détails/Enoncé :

Soit $(E, q)$ un espace quadratique.

Lemme 1 : Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, on a $\dim(F) + \dim(F^{\perp}) \geq E$ avec égalité lorsque $q$ est non dégénérée. De plus, $E = F \oplus F^{\perp}$ si, et seulement si $q_{|F}$ est non dégénérée.

Thm/Déf 2 : Pour toute base $q$-orthogonale $(e_1, \ldots ,e_n)$ de $E$, les entiers $s = \# \{i \in [\![1,n]\!] \ | \ q(e_i) > 0\}$ et $t = \# \{i \in [\![1,n]\!] \ | \ q(e_i) < 0\}$ ne dépendent que de $q$, et non du choix de la base $q$-orthogonale. Le couple $(s,t)$ est alors appelé signature de $q$.

Thm 3 : Notons $\mathcal{P}$ (resp $\mathcal{N}$) l'ensemble des sous-espaces vectoriels $F$ de $E$ tels que $q_{|F}$ est définie positive (resp. définie négative). En notant $(s,t)$ la signature de $q$, on a:
$$ s = \max\limits_{F \in \mathcal{P}} \dim(F) \quad \hbox{et} \quad t = \max\limits_{F \in \mathcal{N}} \dim(F) $$

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

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    Recasages: 151, 170, 171

    Rombaldi [2e édition] p 468 & 476

    J'ajoute la preuve de $\dim(F) + \dim(F^{\perp}) \geq \dim(E)$ avec cas d'égalité et $E = F \oplus F^{\perp}$ si $q_{|F}$ non dégénérée, qui permet d'une part de tenir 15 minutes et non 5, et d'autre part renforce le recasage dans la 170. Commentaires en fin de document.

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    J'aime bien ce développement. Il n'est pas compliqué et aborde un résultat ultra classique.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 627 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 133 versions au total)