Développement : Loi d'inertie de Sylvester, classification des formes quadratiques sur R, équivalence

Détails/Enoncé :

Soit $(E, q)$ un espace quadratique.

Lemme 1 : Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, on a $\dim(F) + \dim(F^{\perp}) \geq E$ avec égalité lorsque $q$ est non dégénérée. De plus, $E = F \oplus F^{\perp}$ si, et seulement si $q_{|F}$ est non dégénérée.

Thm/Déf 2 : Pour toute base $q$-orthogonale $(e_1, \ldots ,e_n)$ de $E$, les entiers $s = \# \{i \in [\![1,n]\!] \ | \ q(e_i) > 0\}$ et $t = \# \{i \in [\![1,n]\!] \ | \ q(e_i) < 0\}$ ne dépendent que de $q$, et non du choix de la base $q$-orthogonale. Le couple $(s,t)$ est alors appelé signature de $q$.

Thm 3 : Notons $\mathcal{P}$ (resp $\mathcal{N}$) l'ensemble des sous-espaces vectoriels $F$ de $E$ tels que $q_{|F}$ est définie positive (resp. définie négative). En notant $(s,t)$ la signature de $q$, on a:
$$ s = \max\limits_{F \in \mathcal{P}} \dim(F) \quad \hbox{et} \quad t = \max\limits_{F \in \mathcal{N}} \dim(F) $$

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  • Remarque :
    Recasages: 151, 170, 171

    Rombaldi [2e édition] p 468 & 476

    J'ajoute la preuve de $\dim(F) + \dim(F^{\perp}) \geq \dim(E)$ avec cas d'égalité et $E = F \oplus F^{\perp}$ si $q_{|F}$ non dégénérée, qui permet d'une part de tenir 15 minutes et non 5, et d'autre part renforce le recasage dans la 170. Commentaires en fin de document.

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 285 versions au total)