(2023 : 151 - Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.)
Dans cette leçon, il est indispensable de présenter les résultats fondateurs de la théorie des espaces vectoriels de dimension finie en ayant une idée de leurs preuves. Il est en particulier important de savoir justifier pourquoi un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est aussi de dimension finie.
On peut montrer, sur des exemples, comment la dimension finie intervient dans la démonstration de certains résultats (récurrence sur la dimension, égalité de sous-espaces par inclusion et égalité des dimensions, isomorphisme par injectivité et dimension, etc.). À cette occasion, on pourra signaler des résultats qui ne subsistent pas en dimension infinie. Le pivot de Gauss ainsi que les diverses notions et caractérisations du rang trouvent leur place dans cette leçon. Les applications sont nombreuses : existence de polynômes annulateurs, dimension de l'espace des formes n-linéaires alternées en dimension n, isomorphisme avec le dual dans le cadre euclidien et théorème de Riesz, espaces de solutions d'équations différentielles ordinaires, caractérisation des endomorphismes diagonalisables, décomposition d'isométries en produits de réflexions, dimensions des représentations irréductibles d'un groupe fini, théorie des corps finis, etc.
Les caractérisations du rang peuvent aussi être utilisées pour démontrer l'invariance du rang par extension de corps, ou pour établir des propriétés topologiques (sur R ou C). Pour aller plus loin, les candidates et candidats peuvent déterminer des degrés d'extensions dans la théorie des corps ou s'intéresser aux nombres algébriques. Il est également possible d'explorer des applications en analyse comme les extrémas liés. Dans un autre registre, il est pertinent d'évoquer la méthode des moindres carrés dans cette leçon, par exemple en faisant ressortir la condition de rang maximal pour garantir l'unicité de la solution et s'orienter vers les techniques de décomposition en valeurs singulières pour le cas général. On peut alors naturellement analyser l'approximation d'une matrice par une suite de matrices de faible rang.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Mon développement consistait des lemmes préliminaires puis l'existence seulement. Ils m'ont posé quelques précisions sur ce que j'avais fait, puis m'ont posé les questions suivantes :
- Si d est le degré du polynôme minimal de u, pourquoi (id_E, u,..., u^{d-1}) est une base de K[u] ?
- Si F est un SEV stable par u, pourquoi le polynôme minimal de l'endomorphisme induit divise le polynôme minimal de u ?
- Exemple sur une matrice 2x2
Sur le plan :
- Comment définit-on le polynôme minimal ?
- Est-ce-que des SEV E_1,...,E_r sont en somme directe si et seulement si leur intersection deux à deux est nulle ?
- Pourquoi l'ensemble des matrices de rang inférieur ou égal à r est un fermé ?
- Que se passe-t-il pour les matrices de rang égal à r avec r
Jury composé de deux hommes et une femme, ils étaient neutres, pas très encourageants, pas un seul sourire à part à la fin
Questions très élémentaires, à part la question sur les SEV en somme directe j'ai répondu directement et justement, je ne sais pas pourquoi ils n'ont pas cherché à poser des questions plus "dures", j'ai l'impression que ça a un peu plafonné la note
14.5
102 : Groupe des nombres complexes de module 1 . Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Quelques questions sur le développement pour commencer, notamment pour justifier l'invariance du rang/de la dimension de l'espace des solutions par extension de corps. Quelques questions sur le plan pas très difficiles.
Premier exo: soit $f: \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \rightarrow \mathbf{R}$ multiplicative et telle que $f(0)=0$ et $f(I_n)=1$. Montrer que $A$ est inversible si et seulement si $f(A) \neq 0$.
Deuxième exo: si $E$ est un $\mathbf{R}-$ev de dimension $n$ et $F$ un sev de $E$, que dire de la dimension de $\{ u \in \mathcal{L}(E) : F \subset Ker(u) \}$ ?
Jury très sympathique, ils m'ont mis très à l'aise et j'ai senti qu'ils m'ont tiré vers le haut en dynamisant beaucoup l'échange.
Pas de réponse fournie.
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