Développement : Réduction de Jordan (par la dualité)

Détails/Enoncé :

Soit $u \in L(E)$ un endomorphisme nilpotent. Il existe une base dans laquelle $u$ s'écrit

$$ \begin{pmatrix}
0 & v_1 & 0 & & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & \ddots & \ddots & 0 \\
& & & \ddots & v_1\\
& & & & 0
\end{pmatrix}$$

Recasages pour l'année 2025 :

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    Un développement que je trouve dangereux. Il se recase bien et constitue une jolie application de la dualité, mais il est long et utilise des propriétés qu'il faut bien maîtriser. Je ne présente que le cas des endomorphismes nilpotents, mais bien sûr, il faut savoir prolonger l'étude aux endomorphismes dont le polynômes caractéristique est scindé. Il faut aussi savoir faire une réduction de Jordan sur des exemples ; remarque qui paraît évidente, mais qui l'est beaucoup quand on sait que le développement ne constitue pas une méthode constructive ! Attention aussi aux arguments du style "on continue de la même façon, et ça va marcher" que l'on utilise dans les deux premiers lemmes ; ce sont des récurrences cachées, certes faciles, mais j'ai toujours l'impression de perdre en précision à l'oral. Pourtant, la longueur du développement ne permet pas de faire plus précis...
    Pour les recasages à mon avis :

    Endomorphismes nilpotents
    Formes linéaires et dualité
    Dimension d'un espace vectoriel
    Exemple de décomposition de matrices
    Sous-espaces stables par un/des endomorphisme(s)

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 507 versions au total)
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné (utilisée dans 56 versions au total)