Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien

Je prends ce développement pour les leçons 106, 148, 150, 151 et 158. Ça fait beaucoup de recasages (trop, diront certains), à vous d'y réfléchir.

On trouvera le développement aux alentours de la page 743.

Algorithme de Berlekamp

J'aime bien ce développement. Le mot "algorithme" peut faire peur mais ce n'est qu'une illusion, ce dév n'a rien d'un algorithme.

Je le mets dans les leçons 123, 125, 141 et 148.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 244 de la référence.

Théorème de Müntz

Un peu technique, à éviter si vous avez peur des calculs (mais quel joli résultat !).

Je le prends pour les leçons 149,201 et 209.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 291 de la référence.

Décomposition polaire

Du classique, très utile dans d'autres développements. Si vous êtes usuellement plutôt lent, attention à l'application proposée.

Je le prends pour les leçons 152, 154, 157 et 158.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 202.

Enveloppe convexe de On(R)

Résultat plutôt mignon ! Je pense que c'est un développement qui peut amener des questions assez dures (on utilise Hahn-Banach affaibli, des résultats en tout genre sur On(R) etc.) donc je le qualifierai de développement plutôt dur.

Je le prends pour les leçons 159, 161 et 181.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 344 du Szpirglas et on utilise le théorème I.7 du Brézis (pour Hahn-Banach).

Lemme de la grenouille

De la topologie élémentaire mais pas simple ! Je pense qu'il faut bien s'approprier la preuve pour la présenter, on y introduit beaucoup de notations. Les dessins sont obligatoires lors de la définition de A' et B'.

Je le prends pour les leçons 204, 223 et 226.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 86 de la référence.

Projection sur un convexe fermé

Ce qu'il y a dans le document prend laaargement 15 minutes donc il ne faut pas hésiter à en sauter une partie (typiquement, je ne pense pas passer trop de temps sur l'équivalence du théorème, si ce n'est aucun).

Je le prends pour les leçons 205, 208, 213, 219 et 253.

La preuve se trouve à la fin du Gourdon, il y a une partie consacrée aux espaces de Hilbert (aux alentours de la page 407 dans la 2nd édition et 427 dans la 3ème)

Ellipsoïde de John Loewner

Le document est très long, il faut un peu adapter en fonction de la leçon (penser à faire le lemme pour la leçon sur les fonctions convexes mais il n'est pas nécessaire dans celle sur le déterminant par exemple). On utilise pas mal de résultats assez forts sur les formes quadratiques et les matrices symétriques mine de rien donc il faut y avoir réfléchi avant je pense.

Je le prends pour les leçons 149, 157, 170, 171,181, 219, 229 et 253.

La preuve se trouve page 229 pour le théorème et 222 pour le lemme.

Théorème de Weierstrass (par la convolution)

Développement plus technique qu'il n'y paraît, surtout la troisième partie de la preuve du théorème. À part ça il n'y a pas pré-requis je trouve donc c'est bien !

Je le prends pour les leçons 201, 203, 209 et 228.

La preuve se trouve aux alentours de la page 283 de la référence.

Développement asymptotique de suites definies par récurrence

Développement pas trop compliqué mais il y a quelques subtilité avec toutes ces manipulations d'équivalents ! J'aime bien la version que je propose car on donne un théorème général, on étudie une suite convergente et enfin on étudie une suite divergente donc c'est assez varié !

Je le prends pour les leçons 223, 224 et 226.

On trouvera les preuves aux alentours de la page 99 de la référence.

Théorème de Brouwer dans le plan euclidien

Développement magnifique ! Il est un petit peu tendu je trouve parce que c'est une preuve "avec les mains" (combinatoire oblige) et c'est un peu long, mais si bien travaillé je pense que ça passe sans trop de soucis.

Je le prends pour les leçons 190 et 203. On peut le mettre dans la 181 si vraiment on veut, en l'énonçant pour un convexe (le théorème est vrai pour tout ouvert d'intérieur non vide homéomorphe au disque unité de IR^2, donc en particulier vrai pour les convexes).

Ne pas hésiter à faire la preuve un peu à votre sauce (typiquement je n'ai pas envie d'introduire formellement le champ de vecteurs sous-jacent à une application comme dans la référence, mais c'est comme vous voulez !)

On trouve la page aux alentours de la page 36 de la référence.

Injectivité de la transformée de Fourier

Développement plutôt sympa je trouve mais pas dans les plus simples, il faut être au clair calculatoirement. Il y a aussi de "gros" résultats que l'on suppose (cf fin du documents) donc il faut être à l'aise avec ça.

Je prends ce développement pour les leçons 234, 235, 236, 239 et 250.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 115 puis de la page 156 pour le lemme.

Polynômes irréductibles sur Fq

J'ai ajouté un lemme souvent négligé pour le faire rentrer dans la leçon sur les corps. Il faut vraiment travailler ce développement de son côté, je trouve qu'il y a pas mal de subtilités.
Le corollaire est "de mon cru" dans le sens où je ne voulais pas utiliser la fonction de Mobiüs donc j'ai fait un peu autrement mais je n'ai pas de référence (même si je ne doute pas que quelqu'un d'autre ait fait comme ça dans son bouquin !).

Je le prends pour les leçons 123, 141 et 144.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 190.

Espace de Bergman du disque unité

Ce dév est très sympa et en regardant la preuve on comprend pourquoi il se recase autant ! Il n'est pas simple mais pas particulièrement dur, il utilise juste beaucoup de gros résultats/théorèmes je trouve. En fonction de la vitesse à laquelle vous allez il est clairement possible de sauter la proposition !

C'est une très bonne preuve pour l'oral mais à l'écrit c'est compliqué (et surtout très très long!) de tout écrire parfaitement donc il faut prendre ce que j'ai écrit avec du recul et compléter les quelques petits flous techniques (que j'ai normalement pointés du doigt quand c'était nécessaire).

Je prends ce développement pour les leçons 205, 213, 234, 243 et 245.

On trouve la preuve aux alentours de la page 105. Je trouve qu'il va très vite sur certains arguments donc n'hésitez pas à regarder les précédentes rédactions de ce développement, elles sont très intéressantes !

Formule des compléments

Un développement vraiment pas simple mais on est très content de le faire quand on l'a travaillé ! Il met en jeu beaucoup d'analyse complexe (cool) et de changements de variable (moins cool). Mon document donne la preuve dans les grandes lignes, il manque beaucoup de passages techniques, mais sans malice (ça ne me semble pas pertinent d'écrire 2 pages de changements de variable).
Bref, il est sympa mais pas simple !

Je le prends pour les leçons 235, 236, 239, 244 et 245 !

On trouvera le lemme vers la page 234 et la preuve du théorème page 183 (c'est la solution de l'exercice 5 qui vient quelques pages avant).

Etude de la fonction de Weierstrass

Pfiouu c'est technique, mais faisable ! Je conseille d'aller très vite sur les changements de variable sinon c'est la course pour le faire tenir en 15 minutes. Il faut être un minimum au courant de ce qu'il se passe quand on regarde la transformée de Fourier sur l'espace de Schwartz (rien de compliqué mais il faut l'avoir vu).

Je prends ce développement pour les leçons 228, 241 et 250.

Critère de Sylvester et applications

Je trouve ce développement d'une difficulté très correcte, il n'y a rien de très compliqué. Il faut juste être très au clair sur la réduction des formes quadratiques. L'application peut faire dépasser les 15 minutes, je pense qu'il faut la faire "rapidement", le jury posera de toute façon des questions dessus s'il veut en savoir plus.

Je prends ce développement pour les leçons 149, 170 et 171. Prenez du temps pour réfléchir à la leçon 149, c'est peut-être un peu léger mais ça ne me dérange pas.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 233 et 248.

Théorème de Bernstein pour les séries entières

Enfin un développement tranquille pour lequel on a pas besoin de se presser ! Je le trouve assez cool en plus (hypothèse/résultat originale) donc je le conseil.

Je le prends pour les leçons 218, 241 et 243.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 250 de la référence.

Surjectivité de l'exponentielle matricielle

Développement sympa, pas très compliqué, mais qui nécessite un peu de travail quand même pour ne pas s'embrouiller.

Je le prends pour les leçons 150, 155, 204 et 214.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 53 (qui est la correction du problème 9 partie II page 49).

Réduction de Jordan (par la dualité)

Pas grand chose à dire, il faut juste être au clair sur les propriétés de base du dual.

Je le prends pour les leçons 144, 148, 151, 154, 156 et 159.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 672.

Décompostion de Bruhat et drapeaux

J'aime beaucoup ce développement mais il est assez technique et, je dirais-même, un peu compliqué. Il faut bien le travailler et faire les tests votre côté pour vérifier la bonne traduction des opérations élémentaires en produit matricielle. J'ai d'ailleurs pu écrire des bêtises donc ne prenez pas pour vrai tout ce qui est écrit !

Je le prends pour les leçons 105, 106 et 162.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 322 de la référence.

Simplicité du groupe alterné An

Pas de commentaire spécial sur ce développement, je l'ai trouvé un peu abrupt au début mais en fait ça va quand on le travaille un peu. Je trouve qu'il se retient très bien par contre !

Je prends ce développement pour les leçons 103, 104, 105 et 108.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 29.

Point de Fermat d'un triangle

Développement pas simple mais qui se retient bien une fois qu'on l'a travaillé. On peut faire plus, on peut en faire moins, à vous de voir (les autres documents sur agreg-maths sont très biens !). Les dessins sont indispensables le jour j je pense donc prenez l'habitude d'en faire.

Je prends ce développement pour les leçons 161 et 229 (il faut sans doute plus insister sur l'étape 4 pour la leçon 229).

On trouvera la preuve aux alentours de la page 376.

Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

Pas le développement le plus fun mais il est quand même important dans certaines leçons. Il y a plein de manières de faire ces preuves, à vous de choisir. On peut vite tomber dans des preuves à base de "$E$ est isomorphe à $\mathbb R^n$ et comme on sait ce qu'il se passe dans $\mathbb R$, on en déduit le résultat". C'est peut-être juste mais je trouve ça moins intéressant, à vous de voir là aussi.

Je prends ce développement pour les leçons 206 et 208.

On trouvera les preuves aux alentours des pages 50 (pour équivalence des normes) et 56 (pour Riesz).

Théorème de Dirichlet faible

Le résultat est plutôt sympa mais il ne faut pas être rebuté.e par les polynômes cyclotomiques ! (Faites attention, j'ai pu confondre $n$ et $N$ sur la fin !)

Je prends ce développement pour les leçons 102, 120 et 121.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 158.

Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

Un développement sympa qui n'utilise que des techniques classiques.

Je prends ce développement pour les leçons 101, 152 et 190.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 264.

Théorème d'inversion locale

Théorème incroyable ! Je pense que c'est bien de le faire en développement parce qu'il est d'une importance capitale en calcul différentiel. C'est un peu technique mais une fois qu'on l'a travaillé ça se fait bien.

Je le prends pour les leçons 214 et 215.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 321.

Différentiabilité de l'exponentielle de matrices

Développement loin d'être trivial. Je le trouve assez compliqué, notamment la dernière partie dans laquelle il est usuel de faire des abus de notations (j'ai essayé de ne pas en faire, au risque de me tromper, donc faites attention).

Je prends ce développement pour les leçons 155, 215, 220 et 221. On m'a bien fait comprendre que c'était risqué dans les leçons 220 et 221. Personnellement ça me va très bien mais je pense en effet qu'il faut bien y réfléchir.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 297 (un peu avant ou après en fonction de votre édition).

Développement asymptotique de la série harmonique

Développement tranquille je trouve, ça fait du bien de temps en temps.

Je le prends pour les leçons 224 et 230.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 156.

Condition de cyclicité des (Z/nZ)^x

Pas le développement le plus fun mais il est là. Je ne voulais pas prendre l'argument des produits semi-directs du Perrin alors j'ai repris la version de Méthivier du développement (pas mots pour mots, mais on en est pas loin). J'ai délibérément sauté la preuve du lemme 2 parce que c'est beaucoup trop long sinon.

Je prends ce développement pour les leçons 104, 108 et 120.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 25.

Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)

Preuve du Gourdon que je trouve plus élémentaire (mais c'est subjectif). Il y a une petite coquille d'ailleurs, pour montrer le lemme 1, dans son livre.

Je prends ce développement pour les leçons 121, 122 et 127. (Attention à la 122, la preuve que je fais rends le recasage moins pertinent, je vais voir si je le garde d'ailleurs)

On trouvera la preuve aux alentours de la page 50.